Tensor electromagnético de tensión-energía para ser utilizado en las ecuaciones de campo de Einstein

Estoy tratando de introducir el tensor de energía-estrés electromagnético para el tensor de energía-momento de las ecuaciones de campo de Einstein. Sin embargo, no estoy seguro de qué matriz tensorial usar. Encontré la siguiente matriz tensorial de "Introducción a las ecuaciones de Einstein-Maxwell y las condiciones de Rainich" de Wytler Cordeiro Dos Santos:

T metro v = [ 1 2 ( ϵ | mi | 2 + 1 m | B | 2 ) − S X C − S y C − S z C − S X C − σ X X − σ X y − σ X z − S y C − σ y X − σ y y − σ y z − S z C − σ z X − σ z y − σ z z ]

Sin embargo, la definición de libro de texto del tensor de tensión de energía electromagnética es:

T metro v = [ 1 2 ( ϵ | mi | 2 + 1 m | B | 2 ) S X C S y C S z C S X C − σ X X − σ X y − σ X z S y C − σ y X − σ y y − σ y z S z C − σ z X − σ z y − σ z z ]
con σ i j = ϵ mi i mi j + 1 m B i B j − 1 2 ( ϵ mi 2 + 1 m B 2 ) d i j

Entonces, ¿qué ecuación matricial usaría en la ecuación de campo de Einstein? GRAMO α β = R α β − 1 2 gramo α β R = − 8 π GRAMO C 4 T α β ?

Gracias. Si necesita más información, por favor hágamelo saber.

Arrendajo

editar: Ecuación de campo de Einstein fija. Si quisiera un tensor de energía de espacio libre, ¿cuál usaría?

El primer tensor tiene dos índices inferiores, el segundo tiene dos índices superiores.
Si, eso es correcto. Así lo tiene el artículo al que hice referencia (pág. 13). Es por eso que estoy confundido en cuanto a qué tensor de energía de estrés electromagnético puedo colocar en el tensor de energía-momentum de las ecuaciones de campo de Einstein.
Creo que las dos expresiones que das solo son correctas para el espacio-tiempo plano. Nunca he hecho EM en espacio-tiempo curvo, así que no estoy seguro, pero Wikipedia da T m v = − 1 m 0 ( F m α gramo α β F β v − 1 4 gramo m v F σ α gramo α β F β ρ gramo ρ σ ) como la expresión correcta para espacios curvos.
@ Jay: ¿la ecuación de campo de Einstein que está usando es una con un tensor de energía de estrés con índices elevados o bajos en el tensor de energía de estrés?
Tu respuesta es diferente si es R a b − 1 2 R gramo a b = 8 π T a b versus R a b − 1 2 R gramo a b = 8 π T a b
@ jacob1729: Creo que las dos expresiones que das solo son correctas para el espacio-tiempo plano. No creo que eso sea correcto. Asumen un gráfico ortonormal local, pero la forma del tensor no cambia según la curvatura. Los tensores existen en el espacio tangente, que es un espacio plano ficticio.
Debe ser consistente con su notación de índice.
@BenCrowell los números reales en T incluir los componentes de gramo aunque (vea la fórmula en mi comentario o en la respuesta actual). Por ejemplo, las dos expresiones de OP están relacionadas por la reducción del índice con la métrica de Minkowski η - si uno de estos es numéricamente correcto para algunos gramo ≠ η entonces el otro debe estar equivocado ya que el aumento del índice debería estar ocurriendo con gramo .

Respuestas (1)

No estoy seguro de si esto responde a su pregunta, pero creo que podría ayudar.

En primer lugar, su ecuación de campo está en mal estado. lo que quieres es

R m v − 1 2 gramo m v R = k T m v
o esto
R m v − 1 2 gramo m v R = k T m v
El tensor de energía de tensión en el electromagnetismo se puede derivar del Lagrangiano
L = − − gramo 4 F α β F α β
resulta ser
T m v = F m β F β v − 1 4 gramo m v F α β F α β
La expresión será similar en forma covariante. Introduciendo esto en las ecuaciones de campo de Einstein
R m v − 1 2 gramo m v R = k ( F m β F β v − 1 4 gramo m v F α β F α β )

También un pequeño consejo: debes usar

R m v = k ( T m v − 1 2 gramo m v T )
En lugar de GRAMO m v = k T m v . Es más fácil de resolver.

FYI: 1. Todas las fórmulas están en unidades naturales. 2. F m v es un tensor de campo electromagnético .

Tensor electromagnético de tensión-energía para ser utilizado en las ecuaciones de campo de Einstein
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