¿Derivar la ley de Biot-Savart del teorema de Helmholtz?

Question

¿Derivar la ley de Biot-Savart del teorema de Helmholtz?

Física
campos vectoriales
campos magnéticos
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell

SalahLa Cabra

El teorema de Helmholtz nos dice que cualquier función vectorial $\vec{F(\vec{r})}$ que va a cero lo suficientemente rápido se puede expresar como

\vec{F (\vec{r})} = \nabla (\frac{- 1}{4 π} \int \frac{\nabla^{'} \cdot \vec{F ({\vec{r}}^{'})}}{R} d V^{'}) + \nabla \times (\frac{1}{4 π} \int \frac{\nabla^{'} \times \vec{F ({\vec{r}}^{'})}}{R} d V^{'})

$\vec{F(\vec{r})}=\nabla(\frac{-1}{4\pi}\int\frac{\nabla'\cdot\vec{F(\vec{r}')}}{R}dV')+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int\frac{\nabla'\times\vec{F(\vec{r}')}}{R}dV')$

dónde $R=|\vec{r}-\vec{r'}|$ es la magnitud del vector de separación. Ahora, a partir de las ecuaciones de Maxwell (suponiendo magnetostática) tenemos que $\nabla \cdot \vec{B}=0$ y $\nabla \times \vec{B}=\mu_0\vec{J}$ . Combinando estos hechos con el teorema de Helmholtz anterior, obtenemos que el campo magnético (dentro del dominio de la magnetostática) debe tomar la forma

\begin{matrix} (1) & \vec{B (\vec{r})} = \nabla \times \frac{m_{o}}{4 π} \int \frac{\vec{j ({\vec{r}}^{'})}}{R} d V^{'} \end{matrix}

$\vec{B(\vec{r})}=\nabla\times\frac{\mu_o}{4\pi}\int\frac{\vec{J(\vec{r}')}}{R}dV' \tag{$1$}$ Ahora lo anterior debería ser equivalente a la ley de Biot-Savart para corrientes de volumen que es

\begin{matrix} (2) & \vec{B (\vec{r})} = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{\vec{j ({\vec{r}}^{'}) \times \hat{R}}}{R^{2}} d V^{'} \end{matrix}

$\vec{B(\vec{r})}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{J(\vec{r}')\times\hat{R}}}{R^2}dV'\tag{$2$}$ Pero estas dos ecuaciones son notablemente diferentes (al menos en su forma actual). ¿Hay alguna forma de manipular la ecuación (1) de modo que terminemos con la ecuación (2)?

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

secavara

Posible duplicado: enlace .

Frobenius

en lugar de (\dfrac12)=

(\frac{1}{2})

$(\dfrac12)$ uso \left(\dfrac12\right)=

(\frac{1}{2})

$\left(\dfrac12\right)$ para ajustar a la altura del contenido.

Respuestas (1)

¿Derivar la ley de Biot-Savart del teorema de Helmholtz?

en lugar de (\dfrac12)= $(\dfrac12)$ uso \left(\dfrac12\right)= $\left(\dfrac12\right)$ para ajustar a la altura del contenido.

SalahLa Cabra · Answer 1

Lo averigué.

Usando la regla del producto $\nabla \times(f\vec{J})=f(\nabla \times \vec{J})-\vec{J}\times (\nabla f)$ con $f=1/R$ obtenemos

\vec{B (\vec{r})} = \nabla \times \frac{m_{o}}{4 π} \int \frac{\vec{j ({\vec{r}}^{'})}}{R} d V^{'}

$\vec{B(\vec{r})}=\nabla\times\frac{\mu_o}{4\pi}\int\frac{\vec{J(\vec{r}')}}{R}dV'$

\vec{B (\vec{r})} = \frac{m_{o}}{4 π} \int \nabla \times (\frac{\vec{j ({\vec{r}}^{'})}}{R}) d V^{'}

$\vec{B(\vec{r})}=\frac{\mu_o}{4\pi}\int\nabla\times(\frac{\vec{J(\vec{r}')}}{R})dV'$

\vec{B (\vec{r})} = \frac{m_{o}}{4 π} \int \frac{1}{R} (\nabla \times \vec{j (r^{'})}) - \vec{j (r^{'})} \times (\nabla \frac{1}{R}) d V^{'}

$\vec{B(\vec{r})}=\frac{\mu_o}{4\pi}\int \frac{1}{R}(\nabla \times \vec{J(r')})-\vec{J(r')}\times (\nabla \frac{1}{R})dV'$ Pero ahora el operador curl es con respecto al no imprimado

\vec{r}

$\vec{r}$ coordenadas, no las imprimadas

\vec{r^{'}}

$\vec{r'}$ coordenadas Así que el primer término de lo anterior es cero. entonces tenemos

\vec{B (\vec{r})} = \frac{- m_{o}}{4 π} \int \vec{j (r^{'})} \times (\nabla \frac{1}{R}) d V^{'}

$\vec{B(\vec{r})}=\frac{-\mu_o}{4\pi}\int \vec{J(r')}\times (\nabla \frac{1}{R})dV'$ Ahora usando la identidad

\nabla \frac{1}{R} = \nabla \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} = - \frac{\hat{R}}{R^{2}}

$\nabla \frac{1}{R}=\nabla \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|}=-\frac{\hat{R}}{R^2}$ , lo conseguimos

\vec{B (\vec{r})} = \frac{m_{o}}{4 π} \int \frac{\vec{j ({\vec{r}}^{'}) \times \hat{R}}}{R^{2}} d V^{'}

$\vec{B(\vec{r})}=\frac{\mu_o}{4\pi}\int\frac{\vec{J(\vec{r}')\times \hat{R}}}{R^2}dV'$ que es precisamente la Ley de Biot-Savart tal como se requiere

¿Derivar la ley de Biot-Savart del teorema de Helmholtz?

SalahLa Cabra

secavara

Frobenius

Respuestas (1)

SalahLa Cabra

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