La operación del campo escalar ϕ(x⃗ )ϕ(x→)\phi (\vec x) en estado de vacío

Ahora estoy aprendiendo la teoría cuántica de campos leyendo las notas de la conferencia de David Tong.

Tengo algunas preguntas sobre la expansión del modo sobre el campo escalar real que se cuantifica canónicamente al promover el campo clásico de Klein Gordon a un campo cuántico.

La expansión modal del campo viene dada por

$$\phi (\vec x) = \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (a_{\vec p} e^{i {\vec p} \cdot {\vec x}} + a^{\dagger}_{\vec p} e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}})$$

dónde$\omega_{\vec p} = \sqrt{p^{2} + m^2}$y$a^{\dagger}_{\vec p}$creará un giro$0$partícula en estado de momento$\left| \vec p \right\rangle$, a saber$a^{\dagger}_{\vec p} \left| {0} \right\rangle = \left| {\vec p} \right\rangle$.

La pregunta por la que ahora tengo curiosidad es sobre qué obtendré si opero el campo cuántico en el estado de vacío, es decir$\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = ?$

Parece que en la nota de la conferencia$\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = \left| {\vec x} \right\rangle$, dónde$\left| {\vec x} \right\rangle$es el giro$0$partícula en estado de posición en$\vec x$.

(equivalente a 2.52 en http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf )

Sin embargo, esto no me parece trivial, así que realicé la siguiente derivación.

$$\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (a_{\vec p} e^{i {\vec p} \cdot {\vec x}} + a^{\dagger}_{\vec p} e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}})\left| {0} \right\rangle$$ $$= \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (\left| {\vec p} \right\rangle e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}})$$

Sin embargo, no tengo idea de cómo probar que

$$\int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (\left| {\vec p} \right\rangle e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}}) = \left| {\vec x} \right\rangle$$

Sé que en mecánica cuántica elemental tenemos

$$\left| {\vec x} \right\rangle = \int d^{3}p \left| {\vec p} \right\rangle \left\langle {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec x} \right\rangle$$ Sin embargo, esto no se parece a lo que quiero probar.

Parece una pregunta estúpida, pero estaba atascado en ella.

Agradecería cualquier sugerencia!