Entendiendo la DTFT

Entonces, estoy tomando un curso de procesamiento de señales en EE y mi profesor es un ingeniero al que le gustan mucho las matemáticas, sin embargo, su libro que usamos para la clase cae en el terrible purgatorio de los libros de matemáticas en mi opinión: demasiado "riguroso" para ser intuitivo y manera demasiado abreviado y da saltos que hacen imposible considerarlo riguroso.

Me deja rascándome la cabeza con el capítulo sobre la relación entre transformadas z, transformadas de Fourier, DTFT y DFT.

He aquí algunos extractos del libro:

Comparando V ( z ) (implícitamente significando la transformada z de una secuencia, digamos v[n]) con la transformada de Laplace V s ( s ) notamos que las dos transformadas están relacionadas por un simple cambio de variables. En particular el alquiler z = mi T s tenemos:

V ( z ) | z = mi T s = V ( mi T s ) = ∑ norte = − ∞ ∞ v C ( norte T ) mi − norte T s = V s ( s ) (dónde V s es la transformada de Laplace de la función idealmente muestreada con --fs = 1/T-- v C que a su vez tiene una transformada de Laplace)

Ahora aquí es donde empieza a perderme:

Notemos que la transformación z = mi T s transforma el eje s = j ω en el círculo unitario: z = mi j ω t = mi j Ω dónde Ω ≜ ω T que es la relación entre la frecuencia angular en el dominio del tiempo discreto Ω en radianes y la frecuencia angular de la frecuencia en el dominio del tiempo continuo ω en radianes/s. la linea vertical s = σ 0 + j ω en el plano s se transforma en un círculo z = mi σ 0 T mi j T ω en el plano z. De hecho, un poste en s = α + j β se transforma en un poste z = mi ( α + j β ) T de radio r = mi α T y ángulo Ω = β T en el plano z.

Ese último párrafo no significa mucho para mí y estoy teniendo dificultades con los siguientes conceptos que parecen bastante importantes:

  1. ¿Qué significa una frecuencia angular en el dominio del tiempo discreto?
  2. ¿Qué quiere decir con el plano z en ese contexto?
  3. Al final, si consideramos las transformadas como morfismos (no tengo suficientes antecedentes matemáticos serios para considerar morfismos para espacios funcionales, pero tengo cierta intuición en el concepto de forma de isomorfismos en LA abstracto), ¿quiere decir que la sustitución z = mi j ω T es un morfismo de "una especie de espacio funcional resultante de la aplicación de la transformada z a las secuencias" a "un espacio funcional que consta de funciones complejas definidas en el círculo?" (Lo siento si esto último fue desagradable para algunos de ustedes, solo trato de entenderlo, gracias)
Aférrate; Estoy arreglando el MathJax... :)
Gracias, acabo de recordar que aquí usamos barras invertidas para el modo matemático. Y sigo posponiendo el aprendizaje de expresiones regulares.
¡Ningún problema! Tus habilidades en MathJaX son impresionantes :) ¿Rompí algo?

Respuestas (1)

Del último párrafo resaltado:

  1. Quizás sea más fácil relacionar una unidad de retraso en los dominios z y s; de este modo mi − s T retrasa una señal continua por T segundos, y z − 1 es la función de retardo unitario en el dominio z, que retarda una señal discreta en un incremento de muestreo. Por eso mi − s T ↔ z − 1 , o mi s T ↔ z 1 = z es a menudo una forma más conveniente.

  2. Para pasar del dominio s al dominio de frecuencia usamos s → j ω . Usando la equivalencia en 1., arriba, podemos pasar del dominio z al dominio de frecuencia por: z → mi s t → mi j ω T = C o s ( ω T ) + j s i norte ( ω T ) . Ahora, ω T es un ángulo, que es proporcional a ω , y es conveniente denotar este ángulo, Ω , y piensa en mi j Ω = C o s Ω + j s i norte Ω como un vector que gira en sentido contrario a las agujas del reloj desde cero radianes a medida que la frecuencia aumenta de ω = 0 rad/seg.

  3. Ahora considere una raíz en el plano s, s = − α . Esto se transformaría en una raíz del plano z: z → mi − α T , que es real, positivo y menor que la unidad en magnitud.

  4. Continuando, una raíz compleja en el plano s: s = − α + j ω se transforma en z → mi − α T + j ω T = mi − α T ( C o s Ω + j s i norte Ω ) , que es un vector que gira en sentido antihorario con radio: mi − α T . La raíz conjugada giraría en el sentido de las agujas del reloj con el mismo radio. Tenga en cuenta que el radio es < 1 , es decir, los vectores están dentro del círculo unitario.

Gracias, cielos, no es de extrañar que estuviera confundido, se refiere al gran Omega como una frecuencia y un ángulo. Obviamente con solo mirar las unidades es un ángulo. Puedo preguntar, realmente nunca me tomé mucho tiempo para entender el dominio z a diferencia de la frecuencia o laplace. Por ejemplo, la variable jw en un Laplace TF Vout/Vin, omega sería la frecuencia. Pero, ¿cómo se puede interpretar el eje del dominio z? Y si Omega es un ángulo, ¿a dónde va el "concepto de frecuencia"?
debido a que T es una constante (= incremento de muestreo), es más fácil escribir Ω = ω T y tratar Ω como la frecuencia variable. El vector se envuelve en un círculo interminable como Ω aumenta sin límite! Por lo tanto, alias ...
Es importante darse cuenta de que el dominio z es diferente al dominio s, y que "visualizan" cosas diferentes. Sí, en el plano s, su eje imaginario corresponde al dominio de la frecuencia, pero en el dominio z eso ya no es cierto. En cambio, la correspondencia es que está "en" ese círculo.
Entonces, podríamos decir algo como: en el contexto de la transformada discreta de Fourier, el plano z resultante del mapa z → mi − s T como el anillo del cociente s metro o d ( 2 π j ω ) ? En realidad, me acabo de dar cuenta de que es una tontería, pero ¿podría ampliar un poco la correspondencia en el dominio z y cómo tener algún tipo de intuición al respecto? ¿O requiere algo como matemáticas serias?
z → mi − j ω T = C o s Ω + j s i norte Ω asigna al círculo unitario. Tenga en cuenta que si α < 0 la raíz real está en el semiplano derecho s, es decir, inestable, y las magnitudes del vector del plano z son >1, es decir, fuera del círculo unitario. El círculo unitario es el límite de estabilidad en el plano z.
... el comentario anterior asume que la raíz en cuestión es un polo, de ahí la interpretación de la estabilidad.
Entendiendo la DTFT
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v