Señales discretas: potencia y energía después de Up/Downsampling

Su error básico es que el poder es energía por muestra. El poder es energía por tiempo . En otras palabras, P = E/t, no P = E/N como usó.

Remuestrear a una velocidad diferente no cambia la duración de la señal (t en la ecuación anterior). Remuestrear a una frecuencia de muestreo más baja, por ejemplo, disminuye el número de muestras, pero también aumenta la energía por muestra.

Olin no tiene razón.

N no es t en el tiempo discreto. N es el número de muestras discretas (cuadradas) que sumas. No hay concepto de tiempo absoluto en el tiempo discreto; solo hay índices de muestra enteros sin nada en el medio. Al insertar N-1 muestras cero entre muestras, cambia la potencia medida independientemente del tamaño de la muestra que mide, pero la energía total o la energía por muestra no cambia.

La reducción de muestreo hace lo contrario. La energía se reduce, pero la potencia permanece igual.

Consulte http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/courses/DSPDF/01100_Multirate.pdf para obtener más detalles.

Con respecto a las otras respuestas: Olin considera el caso del mundo real correspondiente, pero tenga en cuenta que en$P = \frac{1}{T} \int\ x(t)^2 \mathrm{d}t$cualquier escala de tiempo se cancela, por lo que su argumento realmente no funciona. Lo verá explícitamente si aproxima la integral mediante una suma de pasos del tamaño del período de muestra:

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t)^2 \mathrm{d}t \approx\frac{1}{N \Delta T} \sum_{n = 0}^{N-1} x(n\Delta t)^2\, \Delta t = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N-1} x(n\Delta t)^2\,$$ dónde $\Delta t$es el período de muestreo. Observe cómo el tiempo se cancela a partir de la escala.

Por otro lado, Seb habla de poder en el dominio discreto. Técnicamente tiene razón, pero entiendo que la pregunta era sobre el poder de la señal del mundo real correspondiente, que por supuesto no debería depender de la frecuencia de muestreo. Déjame tratar de combinar estas vistas:

El sobremuestreo con relleno de ceros no representa la misma señal del mundo real . Considere lo que sucede en el dominio de la frecuencia: para un factor de sobremuestreo$k$la señal se replica$k$veces. Volviendo al dominio del tiempo: si estuviera muestreando correctamente la señal, insertaría una función de sincronización

$$k\, \mathrm{sinc}\left(\frac{n - n_0}{k}\right) = k \frac{\sin\left(\frac{\pi(n - n_0)}{k} \right)}{\pi (n - n_0)},$$ multiplicado por $x[n_0]$, en cada posición $n_0$donde antes había una muestra, y suma. Tenga en cuenta que la integral de un sinc al cuadrado con la escala anterior es $k$(simplemente haga un cambio de variables en la fórmula dada aquí ).

Dado que la suma$\sum_{n = 0}^N x[n]^2$se aproxima a una integral, obtendrá aproximadamente$k$veces la energía total original (aunque ignoré descaradamente aquí los términos cruzados en la suma de senos), pero por otro lado, como notó, tiene$k$veces las muestras sobre las que se divide, por lo que la potencia es la misma dado el remuestreo adecuado .

Volviendo al punto del principio sobre el dominio de la frecuencia: si la señal fuera replicada$k$veces cuando el relleno cero, ¿por qué la energía total no aumentó en un factor de$k$? Esto se debe a que hay un factor de$1/N$en el teorema de Parseval , que le permite calcular la energía de la DFT. Pero, ¿no disminuye entonces la energía total cuando limitamos la banda para la interpolación? En realidad no, ya que la ganancia de nuestro filtro de interpolación es$k$, y cuando se usa el teorema de Parseval para calcular la energía en el dominio de la frecuencia, se eleva al cuadrado. Entonces, la energía se multiplica por$k^2$, pero por otro lado limitamos el espectro a$1/k$, entonces obtenemos un factor total de$k$, consistente con nuestro cálculo en el dominio del tiempo. Esto también muestra que cuando ignoré los términos cruzados al estimar la escala de la energía total, no cometí ningún error.

Tienes razón. La potencia se reduce durante el sobremuestreo debido a un denominador más grande, a menos que el filtro tenga una ganancia adecuada . Cuando esa ganancia es el mismo factor que el cambio de tasa, la energía aumenta en el mismo factor, pero en la expresión de potencia, ambas se cancelan y terminas con la misma potencia.

Para visualizar en cifras lo que Timo ha descrito muy bien aquí, puedes leer este artículo sobre conversión de frecuencia de muestreo .