Energía electrostática de una esfera cargada

Question

Energía electrostática de una esfera cargada

antoine morrier

Estoy leyendo los libros de Feynman. En 8.1, hemos demostrado que la energía de una esfera cargada de radio $a$ es

tu = \frac{4 π ρ^{2} a^{5}}{15 ϵ_{0}} .

$U = \frac{4\pi\rho^2a^5}{15\epsilon_0}.$

Traté de obtener este resultado usando la siguiente fórmula

tu = \frac{ϵ_{0}}{2} ∭ {mi}^{2} d V .

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\iiint E^2\,dV.$ Mediante el teorema de Gauss, podemos escribir que para

r < a

$r < a$ ,

mi = \frac{q_{i norte t}}{S \cdot ϵ_{0}} = \frac{ρ r}{3 ϵ_{0}} .

$E=\frac{Q_{int}}{S\cdot\epsilon_0}=\frac{\rho r}{3 \epsilon_0}.$ Así que traté de integrarlo para obtener la energía. Primero, podemos decir que

d V = 4 π r^{2} d r

$dV = 4\pi r^2\,dr$

Así obtuvimos:

tu = \frac{ϵ_{0}}{2} \int_{0}^{a} {(\frac{ρ r}{3 ϵ_{0}})}^{2} 4 π r^{2} d r

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_0^a \left(\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\right)^2 4\pi r^2\,dr$

tu = \frac{4 π ρ^{2} a^{5}}{45 ϵ_{0}}

$U=\frac{4\pi\rho^2a^5}{45 \epsilon_0}$

Obtuve un resultado 3 veces demasiado pequeño y no entiendo por qué. Si alguien me puede explicar donde me equivoco :).

EDITAR: Teniendo en cuenta el comentario de @ mmesser314, traté de integrar desde el infinito hasta a. Ahora, desde $r>a$ , $E=\frac{a^3\rho}{3\epsilon_0 r^2}.$

integrándolo desde $\infty$ a $a$ me da

tu = \frac{2 π ρ^{2} a^{5}}{9 ϵ_{0}} .

$U=\frac{2\pi\rho^2a^5}{9 \epsilon_0}.$

mmesser314

Las cargas no tienen energía potencial cuando se distribuyen. En lugar de

\int_{0}^{a}

$\int_0^a$ , intentar

\int_{\infty}^{a}

$\int_{\infty}^a$ .

antoine morrier

@ mmesser314 Creo que no entendí exactamente lo que quieres decir con que las cargas no tienen energía potencial cuando se distribuyen. Hice una edición usando sus recomendaciones para la integral, sin embargo, todavía no obtengo la

\frac{1}{15}

$\frac{1}{15}$ factor...

pablo jensen

La integración para esta fórmula es de TODO el espacio. Use el teorema de gauss para encontrar el campo E dentro de la esfera e integre de r=0 y r= a, luego use el teorema de gauss para encontrar el campo E fuera de la esfera. E integra eso de r= a hasta infinito

pablo jensen

Estoy bastante seguro de que mmesser piensa que estás tratando de encontrar el potencial de una capa esférica. del cual el potencial interior no varía,

Respuestas (1)

Energía electrostática de una esfera cargada

Las cargas no tienen energía potencial cuando se distribuyen. En lugar de $\int_0^a$ , intentar $\int_{\infty}^a$ .
@ mmesser314 Creo que no entendí exactamente lo que quieres decir con que las cargas no tienen energía potencial cuando se distribuyen. Hice una edición usando sus recomendaciones para la integral, sin embargo, todavía no obtengo la $\frac{1}{15}$ factor...
La integración para esta fórmula es de TODO el espacio. Use el teorema de gauss para encontrar el campo E dentro de la esfera e integre de r=0 y r= a, luego use el teorema de gauss para encontrar el campo E fuera de la esfera. E integra eso de r= a hasta infinito
Estoy bastante seguro de que mmesser piensa que estás tratando de encontrar el potencial de una capa esférica. del cual el potencial interior no varía,

spiridon_the_sun_rotator · Answer 1

En primer lugar, ha perdido un factor de $2$ para la energía dentro de la esfera. Es:

\frac{2 π ρ^{2} a^{5}}{45 ϵ_{0}}

$\frac{2 \pi \rho^2 a^5}{45 \epsilon_0}$

En segundo lugar, la energía de una esfera cargada implica la energía del campo en todo el espacio. Te has perdido el aporte de energía que viene del exterior:

\frac{ϵ_{0}}{2} \int_{a}^{\infty} {(\frac{ρ a^{3}}{3 ϵ_{0} r^{2}})}^{2} 4 π r^{2} d r = \frac{2 π ρ^{2} a^{6}}{9 ϵ_{0}} \int_{a}^{\infty} \frac{d r}{r^{2}} = \frac{2 π ρ^{2} a^{5}}{9 ϵ_{0}}

$\frac{\epsilon_0}{2} \int_{a}^{\infty} \left(\frac{\rho a^3}{3 \epsilon_0 r^2}\right)^{2} 4 \pi r^2 dr = \frac{2 \pi \rho^2 a^6}{9 \epsilon_0} \int_{a}^{\infty} \frac{dr}{r^2} = \frac{2 \pi \rho^2 a^5}{9 \epsilon_0}$ En total:

\frac{2 π ρ^{2} a^{5}}{45 ϵ_{0}} + \frac{2 π ρ^{2} a^{5}}{9 ϵ_{0}} = \frac{12 π ρ^{2} a^{5}}{45 ϵ_{0}} = \frac{4 π ρ^{2} a^{5}}{15 ϵ_{0}}

$\frac{2 \pi \rho^2 a^5}{45 \epsilon_0} + \frac{2 \pi \rho^2 a^5}{9 \epsilon_0} = \frac{12 \pi \rho^2 a^5}{45 \epsilon_0} = \frac{4 \pi \rho^2 a^5}{15 \epsilon_0}$

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antoine morrier

pablo jensen

pablo jensen

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