Energía cinética de dos bolas cargadas a una distancia infinita entre ellas

Question

Energía cinética de dos bolas cargadas a una distancia infinita entre ellas

www

Si tengo dos bolas con masas y cargas $m_1, q_1^{+}$ , $m_2, q_2^{+}$ , inicialmente mantenido a distancia $d$ , y luego se suelta, ¿cómo puedo saber las energías cinéticas de cada una de las bolas a una distancia infinita entre ellas? Estoy bastante atascado en eso, porque ambos tienen la misma energía potencial al principio, y no disminuye en el mismo patrón, como si una de las bolas estuviera estacionaria. Entonces no solo cae como $1/R$ , porque al mismo tiempo, la otra bola que está causando esta energía potencial, también está siendo repelida. Entonces, ¿cómo puedo realmente averiguar las energías? Traté de aplicar la ley de conservación de la energía, porque sé que a una distancia infinita entre sí tendrán energía potencial cero, por lo que toda la energía inicial se transformó en forma cinética, sin embargo, me quedo con la energía potencial inicial (ellos ambos lo tienen, así que debo poner $2U_p$ ?), y aún así, no puedo encontrar sus energías cinéticas por separado, sin tener otra ecuación.

Lagerbaer

¿Tal vez la conservación del impulso ayude? Además, realmente no importa "cómo" llegan al infinito, porque la energía no depende de esa historia.

www

@Lagerbaer: lo pensé. Sin embargo, una pregunta cuantitativa en mi libro lleva a la conclusión de que incluso la ecuación de conservación de la energía que escribí es incorrecta (

2 U_{p} = E_{k, 1} + E_{k, 2}

$2U_p=E_{k,1}+E_{k,2}$ ). Es por eso que quiero saber qué me estoy perdiendo aquí. ¿Cómo debo tratar la energía potencial de todo el sistema?

Respuestas (2)

Energía cinética de dos bolas cargadas a una distancia infinita entre ellas

¿Tal vez la conservación del impulso ayude? Además, realmente no importa "cómo" llegan al infinito, porque la energía no depende de esa historia.
@Lagerbaer: lo pensé. Sin embargo, una pregunta cuantitativa en mi libro lleva a la conclusión de que incluso la ecuación de conservación de la energía que escribí es incorrecta ( $2U_p=E_{k,1}+E_{k,2}$ ). Es por eso que quiero saber qué me estoy perdiendo aquí. ¿Cómo debo tratar la energía potencial de todo el sistema?

usuario10851 · Answer 1

La energía potencial es una propiedad del sistema , no de un objeto cualquiera. Por lo tanto, solo debe haber una copia de la típica $1/r$ energía potencial entre dos cargas (más un término gravitacional análogo si no se puede despreciar).

La forma más fácil de ver esto es comenzar con una separación "infinita". En lugar de juntar las dos cargas, mantén una fija y mueve la otra hacia ella. La carga en movimiento debe luchar contra la fuerza de Coulomb estándar (con un poco de ayuda de la gravedad) para acercarse a la estacionaria, por lo que la energía potencial obtenida aquí es solo la integral de esta fuerza sobre la distancia recorrida ( $d$ a $\infty$ ).

Pero, ¿qué pasa con el objeto estacionario? Bueno, claro, necesitamos ejercer una fuerza sobre él para evitar que sea repelido por la carga que se aproxima. Pero no se mueve, por lo que el cambio en $\vec{F} \cdot \vec{x}$ la energía se desvanece.

El hecho de que en algún momento en el futuro dejemos que ambos objetos se muevan no cambia la energía potencial, por lo que deberías obtener la misma energía potencial que si el problema fuera planteado:

Una masa puntual $m_1$ con cargo $q_1$ está fijo en el origen. Otra masa puntual $m_2$ con cargo $q_2$ es traído desde el infinito. ¿Cuál es la energía potencial del sistema?

También puede ser útil recordar que " $2\infty = \infty$ ." Mover objetos de $x = -\infty$ y $x = \infty$ al origen cubre la misma distancia que mover un objeto desde $x = \infty$ al origen

Podría ser solo yo, pero no creo que tu última oración sobre mover objetos hacia y desde el infinito, etc., tenga sentido. El infinito no es un número, por lo que no se puede multiplicar por dos. Solo un pensamiento.
@Greg De hecho, no puedes, de ahí las comillas. Esto es solo una abreviatura de $\lim_{x\to\infty} f(2x) = \lim_{x\to\infty} f(x)$ . Es decir, no hay un factor de dos que nos falte al considerar un objeto estacionario + uno que "va al infinito", en lugar de dos objetos que "van al infinito en direcciones opuestas". A la energía potencial no le importa.

fibonático · Answer 2

Te sugiero que uses esta ecuación:

W = \int_{C} F d X,

$W=\int_C{Fdx},$ dónde

F

$F$ es la fuerza sobre un objeto y

W

$W$ el trabajo realizado por esta fuerza.

En este caso hay dos tipos de fuerzas que actúan sobre los dos objetos, la gravitación y la fuerza de Coulomb:

F_{r mi s tu yo t} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} - GRAMO \frac{{metro}_{1} {metro}_{2}}{r^{2}} = (\frac{q_{1} q_{2}}{4 π ϵ_{0}} - GRAMO {metro}_{1} {metro}_{2}) \frac{1}{r^{2}},

$F_{result}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}-G\frac{m_1m_2}{r^2}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\frac{1}{r^2},$ con

r

$r$ la distancia entre los dos objetos. Entonces:

W_{t o t a yo} = (\frac{q_{1} q_{2}}{4 π ϵ_{0}} - GRAMO {metro}_{1} {metro}_{2}) \int_{d}^{\infty} \frac{1}{r^{2}} d r = (\frac{q_{1} q_{2}}{4 π ϵ_{0}} - GRAMO {metro}_{1} {metro}_{2}) \frac{1}{d}

$W_{total}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\int^\infty_{d}{\frac{1}{r^2}dr}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\frac{1}{d}$

Editar: esto no es del todo correcto, ya que asumo que esta es una situación simétrica, por lo que $m_1=m_2$ y por lo tanto $W_1=W_2=\frac{W_{total}}{2}$ . Esto afectará la relación de distancia al origen de los dos objetos y, por lo tanto, la cantidad de trabajo realizado en cada objeto.

En primer lugar, gracias por la respuesta. Esta integración simplemente conduce a una fórmula de energía potencial (por cierto, ignoramos la gravedad). Mi pregunta era un poco diferente. Pregunté cuál es la energía potencial inicial del sistema y cómo puedo formular las leyes de conservación con respecto a este problema.
Puedes elegir tu energía potencial inicial (elige a qué distancia tu energía potencial es cero). En este tipo de situación, es común elegir la posición en la que la energía potencial es cero en el infinito.

Energía cinética de dos bolas cargadas a una distancia infinita entre ellas

www

Lagerbaer

www

Respuestas (2)

usuario10851

greg

usuario10851

fibonático

www

fibonático

Energía potencial eléctrica de un conductor cargado

¿Cuál es la energía de interacción entre una carga puntual y un cilindro infinito?

¿Por qué el ángulo de inclinación no afecta la altura a la que un objeto lanzado se deslizará por una rampa sin fricción?

Cambio en la energía potencial eléctrica después de que la esfera se divide en dos

¿Ganancia de energía con condensador?

Energía potencial y ley de conservación

¿Por qué el cálculo de la energía potencial gravitatoria requiere la mitad de la longitud total en el caso de la caída de la cadena?

¡Signo de error al calcular la fórmula de energía potencial electrostática! [duplicar]

Energía eléctrica del momento dipolar

El teorema del trabajo-energía