Duda en la energía de interacción del dipolo en un campo eléctrico

Considere un dipolo ($\vec{p}$) en un campo eléctrico ($\vec E$) haciendo un ángulo$\theta$con el campo

Podemos ver eso$V_1-V_2=Ed\cos\theta$
En los libros, la derivación de la energía de interacción del dipolo se da como

energía de interacción,$U=-qV_1+qV_2$
$\implies U=-q(V_1-V_2)$
$\implies U=-qEdcos\theta$
$\implies U=-pEcos\theta$
$Hence, U=-\vec{p}.\vec{E}$

Sabemos que la energía de interacción del dipolo por definición significa que el trabajo realizado por el agente externo al ensamblar el dipolo en el campo eléctrico.
Supongamos que hay un campo eléctrico uniforme$\vec{E}$en el espacio.
El trabajo realizado al colocar la carga$-q_1$en la posición donde el potencial debido al campo eléctrico es$V_!$es$-qV_1$
El trabajo realizado al colocar la carga$+q$A una distancia$d$de$-q$carga en ángulo$\theta$con campo eléctrico es$q$(potencial debido al campo eléctrico + potencial debido a -q)
Trabajo realizado en la colocación$+q$el cargo es$q(V_2-\frac{kq_1}{d}$.
Entonces, la energía de interacción neta,$U=$Trabajo realizado en la colocación$-q$y$+q$carga en campo electrico$E$.
$\implies U=-qV_1+qV_2-\frac{kq_1}{d}$
$\implies U=-q(V_1-V_2)-\frac{kq_1}{d}$
$\implies U=-\vec{p}.\vec{E}-\frac{kq_1}{d}$

No puedo entender por qué obtengo extra$-\frac{kq_1}{d}$término en$U$. Si seguimos la definición básica de energía de interacción, obtengo una expresión diferente a la que se da en los libros.
¿Por qué esto es así? ¿Cuál es el error en mi derivación?
Por favor aclara la duda.