Demostración del campo eléctrico constante entre dos placas paralelas infinitas cargadas

Pista :

Supongamos que un avión$\;\mathcal P_1\;$paralelo a la$\;xy\;$avion en$\;z=0\;$tiene una densidad de carga superficial uniforme$\;\sigma_1$. Entonces

$$\begin{equation} \mathbf{E}_1\left(x,y,z\right)= \left. \begin{cases} \boldsymbol{+}\dfrac{\sigma_1}{2\epsilon_0}\mathbf{k},\, \text{for } z>0 \vphantom{\dfrac{a}{\dfrac{a}{b}}}\\ \boldsymbol{-}\dfrac{\sigma_1}{2\epsilon_0}\mathbf{k},\, \text{for } z<0 \end{cases}\right\} \tag{01}\label{eq01} \end{equation}$$ dónde $\;\mathbf{k}\;$el vector unitario en el eje $\;z$.

Ahora, toma otro avión$\;\mathcal P_2\;$paralelo a la$\;xy\;$avion en$\;z=h\;$con una densidad de carga superficial uniforme$\;\sigma_2\;$produciendo su propia$\;\mathbf{E}_2\;$y encontrar$\;\mathbf{E}\left(x,y,z\right)=\mathbf{E}_1\left(x,y,z\right)+\mathbf{E}_2\left(x,y,z\right)$.

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Prueba de ecuación$\eqref{eq01}$usando solo la ley de Coulomb

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En la Figura-01 una carga de prueba$\;q\;$esta a una altura$\;h\;$sobre un avión$\;\mathcal P\;$con densidad de carga superficial uniforme$\;\sigma$. Sea un anillo de radio finito$\;R\;$y de ancho infinitesimal$\;\mathrm dR$. Si tomamos un trozo del anillo de longitud infinitesimal$\;\delta\ell\;$entonces el area infinitesimal$\;\mathrm dR\cdot\delta\ell\;$lleva carga$\;\sigma\cdot\mathrm dR\cdot\delta\ell\;$y ejerce sobre la carga$\;q\;$una fuerza

$$\begin{equation} \delta\mathbf{f}=\dfrac{q\cdot\left(\sigma\cdot\mathrm dR\cdot\delta\ell\right)}{4\pi\epsilon_{0}r^2}\dfrac{\mathbf{r}}{\;r\;} \tag{02}\label{eq02} \end{equation}$$ Esta fuerza tiene componentes normales y paralelas al plano $\;\mathcal P\;$ $$\begin{equation} \delta\mathbf{f}=\delta \mathbf{f}_{\boldsymbol z}\boldsymbol{+}\delta \mathbf{f}_{\boldsymbol{\rho}} \tag{03}\label{eq03} \end{equation}$$ Si integramos con respecto a $\;\ell\;$tenemos $$\begin{equation} \underbrace{\oint_\ell\delta\mathbf{f}}_{\mathrm d \bf F}=\underbrace{\oint_\ell\delta \mathbf{f}_{\boldsymbol z}}_{\mathrm d \mathbf{F}_{\!\boldsymbol z}}\boldsymbol{+}\underbrace{\oint_\ell\delta \bf f_{\boldsymbol{\rho}}}_{\mathrm d \bf F_{\! \boldsymbol{ \rho}}} \tag{04}\label{eq04} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \mathrm d \mathbf{F}=\mathrm d \mathbf{F}_{\!\boldsymbol z}\boldsymbol{+}\mathrm d \mathbf{F}_{\! \boldsymbol{ \rho}} \tag{05}\label{eq05} \end{equation}$$ Debido a la simetría rotacional con respecto a la vertical $\;z-$eje los componentes $\;\delta \bf f_{\boldsymbol{\rho}}\;$cancelar así $\;\mathrm d \bf F_{\!\boldsymbol{ \rho}}=\boldsymbol{0}\;$y $$\begin{equation} \mathrm d \mathbf{F}=\mathrm d \mathbf{F}_{\!\boldsymbol z}=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_{0}}\dfrac{R\cos\theta\mathrm dR}{r^2}\mathbf{k} \tag{06}\label{eq06} \end{equation}$$ Ahora a partir de la geometría de esta configuración $$\begin{align} R &=h\tan\theta \tag{07.1}\label{eq07.1}\\ \mathrm dR &=\dfrac{h}{\cos^2\theta}\mathrm d\theta \tag{07.2}\label{eq07.2}\\ r^2 &=\dfrac{h^2}{\cos^2\theta} \tag{07.3}\label{eq07.3} \end{align}$$ y reemplazando en $\eqref{eq06}$ $$\begin{equation} \mathrm d \mathbf{F}=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_{0}}\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathbf{k} \tag{08}\label{eq08} \end{equation}$$ integrando $$\begin{equation} \mathbf{F}=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,\mathrm d\theta\right)\mathbf{k}=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_{0}}\Bigl[-\cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2}\mathbf{k}=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_{0}}\mathbf{k} \tag{09}\label{eq09} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} \mathbf{E}=\dfrac{\mathbf{F}}{q}= \dfrac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\,\mathbf{k} \tag{10}\label{eq10} \end{equation}$$ un resultado independiente de las coordenadas de posición de la carga de prueba $\;q$.

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En la Figura-02 vemos la fuerza ejercida sobre$\;q\;$por un anillo de ancho infinitesimal, ecuación$\eqref{eq08}$.

Para demostrar que este es realmente el caso, necesitará usar la llamada ley de Gauss . Relaciona el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga contenida en su interior:

$$\oint \vec{E}d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$$

En general, es bastante difícil evaluar el lado izquierdo ya que la orientación del elemento de área$d\vec{S}$de superficie cerrada wrt$\vec{E}$puede variar de un punto a otro. Sin embargo, en algunos casos es posible definir la denominada superficie gaussiana . Está dado por la orientación.$d\vec{S}$perpendicular a$\vec{E}$(o colineal a él). Por ejemplo, si desea aplicar la ley de Gauss para evaluar el campo eléctrico de la carga puntual, debe elegir una esfera con el centro en la posición de la carga puntual.

Ahora necesitamos entender cómo elegir una superficie gaussiana para un plano infinito. Es útil comenzar con el siguiente modelo de juguete. Colocamos cargas puntuales uniformemente a lo largo de la superficie. Debido a la simetría de la construcción, se puede observar que el campo eléctrico de las cargas más cercanas se cancelará entre sí en todas las direcciones excepto en la exactamente perpendicular a la superficie cargada. (Las líneas azules no se cancelarán. Las partes verticales de las líneas moradas cancelarán las partes correspondientes de las más cercanas). los verdes

Puedes ver que para que esta cancelación se lleve a cabo necesitas tener

1) avión cargado uniformemente

2) el plano será grande (no habrá cancelación cerca del límite del plano)

Ahora, si vamos al límite continuo, llegamos a la conclusión de que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie del plano. (Tenga en cuenta que lo mismo ocurrirá desde el lado opuesto del plano). Como conocemos la orientación del campo eléctrico, podemos definir fácilmente la superficie gaussiana correspondiente:

Ahora la ley de Gauss nos dará:

$$E\cdot 2 A = \frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}$$

$$E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$$

aquí$\sigma$es la densidad de carga superficial,$A$- área de superficie del cilindro superior.

Entonces, realmente no necesita tener dos planos para tener un campo eléctrico constante.

Si tomas dos planos infinitos idénticos con cargas opuestas, el campo eléctrico en el interior se duplicará y se cancelará en el exterior de los planos.