Encuentra todos los pares de números primos ppp y qqq

Question

Encuentra todos los pares de números primos ppp y qqq

Matemáticas
teoría de los números
prueba de verificación

lamberto macuse

Encuentra todos los pares de números primos $p$ y $q$ tal que $p^3 - q^5 = (p + q)^2$ . Presenta tus respuestas como un par ordenado $(p, q)$ .

¿Es correcta esta resolución?

Basta con mostrar que uno de $p$ , $q$ es divisible por 3, entonces el resto del problema se derrumba.

Suponga lo contrario. Obsérvese que para cualquier $n$ , $n^3 \equiv n \pmod{3}$ . Entonces:

{pag}^{3} - q^{5} \equiv pag - q \equiv {pag}^{2} + 2 pag q + q^{2} (modificación 3)

$p^3-q^5 \equiv p-q \equiv p^2+2pq + q^2 \pmod{3}$ Desde

p

$p$ ,

q

$q$ no son divisibles por 3, no pueden tener residuo 0 cuando se elevan al cuadrado, por lo que ambos deben tener residuo 1 cuando se elevan al cuadrado. Tenemos:

pag - q \equiv 2 + 2 pag q

$p-q \equiv 2+2pq$

2 pag - 2 q \equiv 1 + pag q

$2p-2q \equiv 1+pq$

q - pag \equiv 1 + pag q

$q-p \equiv 1+pq$

pag q + pag - q - 1 \equiv 1

$pq+p-q-1 \equiv 1$

(pag - 1) (q + 1) \equiv 1

$(p-1)(q+1) \equiv 1$ Ni

p - 1

$p-1$ ,

q + 1

$q+1$ puede ser 0 mod 3, eso sería absurdo. Ambos son congruentes con

2

$2$ mod 3, o ambos congruentes con

1

$1$ mod 3. Cualquiera de los casos conducirá a uno de

p

$p$ ,

q

$q$ siendo divisible por 3, contradicción.

ViHdzP

Me parece bien tu argumento.

keith backman

cuando llegas a

p - q \equiv 2 + 2 p q

$p-q\equiv 2+2pq$ , solo señalaría que por suposición

p \equiv \pm 1

$p\equiv \pm 1$ y

q \equiv \pm 1

$q\equiv \pm 1$ . Si ambos tienen el mismo signo, el LHS es

0

$0$ pero el RHS es

1

$1$ , entonces eso es imposible. Por el contrario, si tienen signos opuestos, el LHS es

\pm 2

$\pm 2$ pero el RHS es

0

$0$ , así que eso también es imposible. De ahí la suposición de que ninguno de los dos es

\equiv 0

$\equiv 0$ es imposible.

Respuestas (1)

Encuentra todos los pares de números primos ppp y qqq

cuando llegas a $p-q\equiv 2+2pq$ , solo señalaría que por suposición $p\equiv \pm 1$ y $q\equiv \pm 1$ . Si ambos tienen el mismo signo, el LHS es $0$ pero el RHS es $1$ , entonces eso es imposible. Por el contrario, si tienen signos opuestos, el LHS es $\pm 2$ pero el RHS es $0$ , así que eso también es imposible. De ahí la suposición de que ninguno de los dos es $\equiv 0$ es imposible.

bjorn93 · Answer 1

Eso me parece correcto. También puede establecer el resultado mirando $(p+q) \pmod{3}$ . Como dijiste, $p^3-q^5\equiv p-q\equiv (p+q)^2\pmod{3}$ .

Caso 1 . $p+q\equiv 0\pmod{3}$ . Entonces tiene $3\mid p-q$ y $3\mid p+q$ , lo que da $3\mid p,q$ .

Caso 2 . $p+q\equiv \pm1\pmod{3}$ . Entonces $(p+q)^2\equiv 1\equiv p-q \pmod{3}$ . Restar o sumar (según $\pm$ ) las congruencias $p+q\equiv \pm1\pmod{3}$ y $p-q\equiv 1 \pmod{3}$ Producirá $3\mid p$ o $3\mid q$ .

Así que la única solución es $(p,q)=(7,3)$ .

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lamberto macuse

ViHdzP

keith backman

Respuestas (1)

bjorn93

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