Demostrar que las coordenadas de todos los vértices de un triángulo equilátero no pueden ser racionales.

Si podemos suponer que si$k$y$c$son racionales, entonces$k\sqrt{3}+c$es irracional, entonces:

Sin pérdida de generalidad, suponga que un vértice está en el origen y otro vértice tiene coordenadas$(a,b)$dónde$a,b\in\mathbb{Q}$.

Entonces el tercer vértice del triángulo equilátero (en sentido antihorario, sin pérdida de generalidad) tiene posición vectorial

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos60&-\sin60\\\sin60&\cos60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$ Entonces $$p=\frac12a-b\frac{\sqrt{3}}{2}$$ y $$q=a\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12b$$ ninguno de los cuales es racional.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las coordenadas de dos vértices son$(0,0)$y$(1,0)$. El tercer vértice entonces será$(1/2, \sqrt 3 /2)$Considere El triángulo equilátero con vértices

$$(0,0), (1,0),(1/2, \sqrt 3 /2)$$

Los tres lados tienen longitud$1$y dos vértices tienen coordenadas enteras mientras que el tercer lado no tiene coordenadas enteras o incluso racionales.