Encontrar un producto escalar específico a partir de un producto cruzado

Su respuesta final es correcta. El error en el primer cálculo fue que escribiste que debes tener$-3x+1y=8$pero debería haber sido$-3x+1x=8$.

Encontraste que el producto cruz es$w=(-3,1,3)$lo que significa que cualquier vector que sea ortogonal a ambos$u_1$y$u_2$debe estar en la línea atravesada por$w$, es decir, debe ser de la forma$\lambda w=(-3\lambda, \lambda, 3\lambda)$para algunos$\lambda\in\mathbb{R}$. La restricción del producto punto da

Opción:

1)Vector perpendicular a$(1,0,1)$es$(a, b, -a)$.

2)$(a, b, - a) \cdot (1,3,0)=a+3b=0;$

Obtenemos$(-3b,b,3b).$

3)$b(-3,1,3)\cdot (1,1,0)=8;$

$b(-3+1)=8; b=-4;$

Finalmente tenemos$(12,-4,-12).$

Fui de la misma manera que @Snaw arriba: cualquier múltiplo de vector$\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$cumple el requisito de ser ortogonal a los vectores dados$u_1$y$u_2$. Dejar$k$sea ​​el factor de ese vector ortogonal. Esto finalmente conduce a la ecuación:$-3k\cdot 1+1k\cdot 1+3k\cdot 0 = 8$que finalmente te da el factor$k=-4$para su solución.

Dejar$U = \begin{bmatrix}1 &0 &1\\1 & 3 &0\end{bmatrix}$y$v = [1, 1, 0]$. Entonces se le pide que encuentre$x$tal que$Ux=0$y$vx=8$. Tenga en cuenta que$x$es un vector columna tridimensional, mientras que el$0$en$Ux =0$es un vector columna bidimensional. Puedes combinar estas dos ecuaciones en una. Llevar$M$ser una matriz con las dos primeras filas siendo$U$y siendo la fila inferior$v$:

$M= \begin{bmatrix}1 &0 &1\\1 & 3 &0\\1&1&0\end{bmatrix}$

Entonces$Mx$es un vector columna tridimensional donde las dos primeras entradas son$0$(que representa la ortogonalidad) y la última entrada es 8 (que representa el producto escalar siendo$8$).

$\begin{bmatrix}1 &0 &1\\1 & 3 &0\\1&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\8\end{bmatrix}$

Las dos primeras filas dan un sistema homogéneo. Recuerda que los sistemas homogéneos no dan soluciones únicas; cualquier múltiplo de un sistema homogéneo también es una solución. Entonces, una vez que haya reducido las dos primeras filas, debería tener una solución expresada en términos de una variable libre. Luego puede usar la última fila para resolver el valor de esa variable.