En relatividad general, ¿son dos variedades pseudo-Riemannianas físicamente equivalentes si son isométricas o simplemente difeomorfas?

De hecho, la "invariancia del difeomorfismo" de GR en física en este contexto significa en lenguaje matemático apropiado que las variedades (pseudo-) riemannianas isométricas son físicamente equivalentes. En mi opinión, esta confusión entre "difeomorfismo" e "isometría" probablemente se deba a que los físicos generalmente observan una variedad en coordenadas, y un cambio en las coordenadas puede entenderse como un autodifeomorfismo de la variedad a sí mismo, donde la fuente lleva una opción. de gráficos de coordenadas y el objetivo otro.

Bajo tal cambio, la métrica y todos los campos se transforman naturalmente a través de pushforward, y esencialmente definimos el difeomorfismo como una isometría, de modo que los campos en el objetivo con las nuevas coordenadas sean equivalentes a los campos en la fuente. Entonces, el lema es "cambio de coordenadas" = "invariancia del difeomorfismo", pero la naturaleza del cambio de coordenadas significa que el difeomorfismo siempre se promueve adicionalmente a un isomorfismo en cualquier categoría de variedades en las que nos estemos moviendo actualmente.

Esta "invariancia de difeomorfismo" enfáticamente no es una propiedad especial de GR: cada teoría física adecuada no se preocupa por las coordenadas que elegimos.$\phi^4$-la teoría y la teoría de Yang-Mills son precisamente tan invariantes de difeomorfismo en este sentido como GR, solo que allí el difeomorfismo empuja hacia adelante no la métrica, sino un campo escalar y una conexión de calibre, respectivamente.

Desafortunadamente, la frase "invariancia de difeomorfismo" también se usa ocasionalmente en un contexto diferente , a saber, para lo que es más propiamente la invariancia local de Lorentz de GR (al menos en el formalismo de conexión de espín). A saber, un difeomorfismo induce un mapa en todos los tensores a través de su jacobiano (o, más matemáticamente, el mapa (co)tangente) y GR también exhibe una invariancia bajo las transformaciones de este mapa (co)tangente solo , es decir, es un$\mathrm{GL}(n-1,1)$(o$\mathrm{SO}(n-1,1)$) teoría de calibre, aunque inusual cuyo haz principal está soldado. Para obtener más información sobre esto, vea esta respuesta mía a una pregunta suya anterior.

Según ACuriousMind, los físicos y los matemáticos usan las palabras "difeomorfismo" e "isometría" de manera incompatible. Estoy muy sorprendido de que nunca haya escuchado esto antes, porque parece un punto importante para mencionar. Además, es bastante confuso porque en ambos usos una "isometría" es un caso especial de un "difeomorfismo", pero están "compensados": la "isometría" de un matemático es el "difeomorfismo" de un físico. Dado que ACuriousMind proporcionó parte de esta información en los comentarios, aquí hay una tabla que se traduce entre los dos usos:

Tenga en cuenta que en su segunda cita de Carroll, dice explícitamente que los campos métrico y de materia se están transformando. Por tanto, un difeomorfismo, según su definición, no es más que un cambio de nombre de los puntos. Puede resultar innecesariamente confuso que él hable de un mapa de la variedad M a sí mismo. Si estamos definiendo una variedad de la manera habitual, por topología de conjunto de puntos, entonces podemos tener variedades que son diferentes, en el sentido de que el conjunto de puntos es diferente, pero homeomórfico como variedades. Entonces, si hablamos de un difeomorfismo de M a N, queda un poco más claro que también tenemos que transformar la métrica; de lo contrario, la métrica sería una función que ni siquiera tiene el dominio correcto para operar en N.

Además, como se discutió aquí, los difeomorfismos generales no asignan geodésicas [...] a geodésicas, solo las isometrías lo hacen.

Según las definiciones de Carroll, los difeomorfismos asignan geodésicas a geodésicas. Por ejemplo, supongamos que hacemos un difeomorfismo del plano de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Una línea que es una geodésica bajo la métrica$ds^2=dx^2+dy^2$es también una geodésica bajo la métrica$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$, que es lo que obtienes cuando transformas la métrica según el difeomorfismo. No es una geodésica bajo la métrica.$ds^2=dr^2+d\theta^2$, que es lo que obtienes si no transformas la métrica y asumes que existe una correspondencia natural entre un punto$(x,y)$y un punto$(r,\theta)$.

1) El Universo Gödel$G$es (salvo el homeomorfismo) de la forma$S\times T$dónde$S$es homeomorfo a${\mathbb R}^3$y$T$es homeomorfo a${\mathbb R}^1$. pero para cualquier$n\neq 4$, toda variedad homeomorfa a${\mathbb R}^n$también es difeomorfo a${\mathbb R}^n$. Por lo tanto$G$es difeomorfo a${\mathbb R}^3\times{\mathbb R}^1={\mathbb R}^4$, y por lo tanto difeomorfo al espacio de Minkowski$M$.

Pero$G$y$M$definitivamente no son isométricos, y ciertamente no son físicamente equivalentes en ningún sentido plausible. Entonces, hay un contraejemplo para "difeomorfo implica isométrico" y un contraejemplo para "difeomorfo implica físicamente equivalente".

2) Esto no es estrictamente un argumento matemático, pero: debe haber una gran cantidad de espaciotiempos que han existido desde antes de 1980 y son obviamente homeomorfos a${\bf R}^4$. En algún momento a principios de la década de 1980, Michael Freedman asombró al mundo matemático al demostrar que existen variedades homeomorfas a${\mathbb R}^4$pero no difeomorfo a${\mathbb R}^4$. Esto desencadenó una búsqueda de ejemplos. Si alguno de esos espacio-tiempos conocidos hubiera sido un ejemplo, apuesto a que alguien pronto habría descubierto ese hecho y lo habría hecho público. El hecho de que nunca haya oído hablar de tal resultado me lleva a creer que cada uno de esos espacio-tiempos es de hecho difeomorfo a${\mathbb R}^4$, y por lo tanto, cada uno de ellos proporciona otro contraejemplo de "difeomorfo implica isométrico".

3) El autor que está citando parece estar usando la palabra "difeomorfo" para significar "isométrico". Si esto es un error o una idiosincrasia deliberadamente cultivada es, sin más información, una pregunta abierta.

Cuando un colector viene sin métrica, puede hacer cualquier cosa con él, siempre que la topología sea la misma y no se formen torceduras ni crestas [gracias a @Willo] , como una membrana de goma suave pero irrompible. Esto es difeomorfismo .

Sin embargo, cuando una variedad está equipada con una métrica, se vuelve de alguna manera "rígida", como un caparazón de papel. Solo puede doblarlo cuando las longitudes, es decir, la métrica no cambia. Esta es la razón por la que puede doblar un papel plano en una sola dirección; de esa forma, la métrica no cambia (por lo que esta curvatura es extrínseca , y no intrínseca , como se estudia en GR). Esto es isometría .