¿En qué contextos se aplican las teorías de calibre?

La idea general es que eres capaz, a partir de un Lagrangiano$\mathscr L$invariante bajo alguna transformación global (es decir, no dependiente del espacio-tiempo), para "derivar" la interacción del campo descrita por esa teoría únicamente al requerir que el Lagrangiano siga siendo invariante cuando se permite que la transformación sea local (lo que significa que el parámetro que define la transformación depende del espacio-tiempo).

Un ejemplo simple es QED . Considere la densidad lagrangiana para un campo masivo de Dirac$\psi$, que dice:

$$\tag 1 \mathscr{L} = \bar \psi (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi.$$ Tenga en cuenta que este Lagrangiano es invariante bajo la transformación global $$\tag{2} \psi(x) \rightarrow e^{i\alpha} \psi(x),$$ $$\tag{2'} \bar \psi(x) \rightarrow e^{-i\alpha} \bar \psi(x),$$ dónde $\alpha_0 \in \mathbb{R}$es un número (como si no fuera una función).

Pero si ahora tratas de generalizar las transformaciones (2) y (2') , permitiendo$\alpha$al depender del punto del espacio-tiempo, se nota fácilmente que el Lagrangiano (1) ya no es invariante.

Resulta que si agregas a la densidad lagrangiana un término adicional, escribiéndolo como

$$\tag 3 \mathscr{L} = \bar \psi (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi - ieA_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi,$$ dónde $A^\mu(x)$es un campo con ciertas propiedades de transformación bajo la transformación de fase (2) , entonces se obtiene que (3) es invariante bajo las transformaciones de norma más generales $$\tag{4} \psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\psi(x),$$ $$\tag{4'} \bar \psi(x) \rightarrow e^{-i\alpha(x)} \bar \psi(x),$$ $$\tag{5} A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) + \frac{1}{e} \partial_\mu \alpha(x).$$

$A^\mu$no es nada más que el campo de fotones, y por lo tanto se ve que el requisito de invariancia de calibre bajo las transformaciones de fase locales (también llamadas transformaciones U(1)) escritas arriba reproduce (como en: es equivalente a) la interacción electromagnética entre fermiones cargados/ antifermiones, como electrones y positrones.

De manera similar, el requisito de simetría de calibre se utiliza para "derivar" todas las fuerzas fundamentales:

• En QCD que requiere invariancia bajo el$SU(3)$el grupo gauge introduce los gluones como portadores de la fuerza fuerte ;
• Se introducen interacciones débiles que requieren invariancia bajo el$SU(2)_W$grupo de calibre, y esto produjo el acoplamiento de leptones zurdos con el$W^\pm$y$Z^0$campos de medida;

Y estos son solo un par de ejemplos tomados de un tema realmente amplio.

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Otras preguntas Phys.SE relacionadas con el tema son:

• Sobre la aplicación de las teorías de gauge en la gravedad: ¿ En qué medida la relatividad general es una teoría de gauge? y enlaces en el mismo
• Acerca de las teorías de calibre: ¿Por qué las teorías de calibre tienen tanto éxito?
• Más genéricamente sobre la libertad de calibre: ¿Qué es un calibre en una teoría de calibre?