Soy un novato en este campo de la lógica. Mientras leía sobre la solidez y la integridad de un método, leí esta línea: "un sistema lógico tiene la propiedad de solidez si y solo si cada fórmula que se puede probar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema". Aquí está su fuente .
Parte de ella dice que toda fórmula que pueda probarse es válida. (mi interpretación)
¿Significa que la fórmula que se puede probar no puede ser inválida? Si es así, ¿por qué no podemos tener una prueba de una fórmula inválida?
(Una interpretación falsificadora puede ser útil como contraejemplo, para demostrar que una fórmula no es válida, ¿no?)
Es bastante confuso para mí. ¿Puede alguien ayudarme y explicarme? Gracias de antemano.
Las definiciones son relevantes para un sistema lógico y pueden extenderse a teorías matemáticas formales .
Vea la página de Wiki (unas líneas debajo de su cita):
La solidez de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración que sea demostrable en ese sistema deductivo también es verdadera en todas las interpretaciones o estructuras de la teoría semántica del lenguaje en el que se basa esa teoría. La solidez fuerte de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración P del lenguaje en el que se basa el sistema deductivo que se deriva de un conjunto Γ de oraciones de ese lenguaje es también una consecuencia lógica de ese conjunto.
Esto significa:
si es demostrable, entonces válido.
Lo contrario de esa definición es la de completitud :
Un sistema deductivo con una teoría semántica es fuertemente completo si cada oración P que es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones Γ puede derivarse en el sistema de deducción de ese conjunto.
Esto significa:
si es válido, entonces demostrable.
Informalmente, un teorema de solidez para un sistema deductivo expresa que todas las oraciones demostrables son verdaderas. La completitud establece que todas las oraciones verdaderas son demostrables.
En el sistema formal, una "prueba" es una prueba formal (también conocida como derivación ).
Una interpretación falsificadora puede ser útil como contraejemplo, para demostrar que una fórmula no es válida, ¿no es así?
Correcto. En lógica proposicional tenemos el método de la tabla de verdad que se puede aplicar a cada fórmula para verificar (en un número finito de pasos) si la fórmula es válida o no. Una sola fila en la tabla de verdad que "da como resultado" FALSO es suficiente para mostrar que la fórmula no es válida.
De la misma manera, el método del árbol de la verdad producirá un contraejemplo, si lo hay, que muestre la invalidez de la fórmula.
Habiendo encontrado un contraejemplo, aplicamos solidez ("si es demostrable, entonces válido") para concluir que la fórmula (siendo no válida) no es derivable en el cálculo.
La discusión anterior se relaciona con el tema de la decidibilidad .
En lógica proposicional tenemos el método de la tabla de verdad que se puede usar para verificar (en un número finito de pasos) para cada fórmula si la fórmula es válida o no.
Un método correspondiente no está disponible para la lógica de primer orden. Esto significa que la completitud asegura que si la fórmula P es válida, entonces tenemos una prueba de ello.
Pero no tenemos un método general para verificar de antemano si P es válido o no.
Esto significa que la validez si FOL no es decidible.
Consulte también la publicación: ¿Cómo se completa la lógica de primer orden pero no se puede decidir?
usuario8616916
Mauro ALLEGRANZA
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Mauro ALLEGRANZA