En general, ¿puede una densidad lagrangiana depender explícitamente del espacio-tiempo?

Antes de pasar a la teoría de campos, parece instructivo hacer primero las mismas preguntas en la mecánica de puntos:

1. ¿Puede el lagrangiano$L(q,v,t)$¿Depende del tiempo explícitamente?

Sí. el lagrangiano$L(q,v,t)$puede depender explícitamente del tiempo. Por ejemplo, podría haber fuentes externas .

Por otro lado, si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, entonces la acción tiene una simetría de traslación temporal, que (a través del teorema de Noether) conduce a la conservación de la energía. Supongamos de ahora en adelante que este es el caso$^1$.

2. ¿Por qué funciona la energía? $$\tag{1}h~:=~p_{i}\dot{q}^{i}-L,\qquad p_i ~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i},$$ tiene un término lagrangiano?

Bueno, la energía se define como la carga de Noether para la simetría de traducción del tiempo. Uno tendría que pasar por el procedimiento/método estándar de Noether para derivar la fórmula estándar (1) para la función de energía. Esto se discute, por ejemplo, en Wikipedia o en esta publicación de Phys.SE.

Finalmente, el razonamiento anterior se puede generalizar desde la mecánica de puntos a la teoría de campos, donde el tiempo$t$se reemplaza con puntos de espacio-tiempo$x^{\mu}$, y donde las posiciones$q^i(t)$se reemplazan con campos$\phi^{\alpha}(x)$.

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$^1$Incluso en situaciones con dependencia temporal explícita, seguiremos utilizando la fórmula (1) como una definición de la función de energía lagrangiana, aunque ya no será una constante de movimiento.