El problema de la velocidad instantánea

Su excelente pregunta es tan antigua como la invención del cálculo. Como señalas correctamente, la velocidad no tiene sentido si todo lo que sabes es lo que está sucediendo en ese instante de tiempo. Los físicos y los matemáticos toman el límite de la velocidad media como la definición misma de la velocidad instantánea.

Esa resulta ser una muy buena definición, ya que conduce a la física que describe con precisión el comportamiento del mundo y las matemáticas que son coherentes, interesantes y útiles. Así que la gente ya no se preocupa por la pregunta en la forma en que la hiciste.

Ediciones para responder a los comentarios. Editado nuevamente (como sugiere @Polygnome) para incorporar también el sentido de los comentarios

@ pjs36 Sí, de hecho, gracias. La pregunta realmente se remonta a la paradoja de la flecha de Zenón . En esa página de wikipedia puedes leer

Zeno afirma que para que ocurra el movimiento, un objeto debe cambiar la posición que ocupa. Da un ejemplo de una flecha en vuelo. Afirma que en cualquier instante de tiempo (sin duración), la flecha no se mueve hacia donde está ni hacia donde no está.[13] No puede moverse a donde no está, porque no transcurre el tiempo para que se mueva allí; no puede moverse a donde está, porque ya está allí. En otras palabras, en cada instante de tiempo no ocurre ningún movimiento. Si todo está inmóvil en cada instante, y el tiempo está enteramente compuesto de instantes, entonces el movimiento es imposible.

@Max dice

En el modelo newtoniano del universo, cantidad de movimiento/velocidad es algo que los objetos tienen en cada instante de tiempo.

no sabia eso Quizá por eso pudo desarrollar el razonamiento de cálculo con infinitesimales sin abordar el problema filosófico y sin noción formal de límites. Sus suposiciones no fueron universalmente aceptadas en ese momento. El filósofo George Berkeley argumentó que

... las fuerzas y la gravedad, tal como las definió Newton, constituían "cualidades ocultas" que "no expresaban nada claramente". Sostuvo que quienes postulan "algo desconocido en un cuerpo del que no tienen idea y que llaman principio de movimiento, de hecho simplemente afirman que el principio de movimiento es desconocido".

( https://en.wikipedia.org/wiki/George_Berkeley#Filosofía_de_la_física )

@leftaroundabout Estoy de acuerdo en que el impulso es una mejor noción fundamental que la velocidad (ciertamente para la mecánica cuántica, posiblemente también para la newtoniana). Sin embargo, no creo que sea mejor comenzar el cálculo allí.

@Hurkyl señala correctamente que hay nuevas estructuras matemáticas, gérmenes , que capturan la idea de lo que sucede cerca pero no en un punto. Pero creo que la idea del germen de una función es más técnica y abstracta de lo que exige la pregunta.

¿Tienes una noción previa de "velocidad instantánea"?

No, no tengo noción previa de velocidad instantánea.

La cantidad definida por el límite es muy útil. Por lo tanto, necesita un nombre. "Velocidad instantánea" es una frase lo suficientemente precisa como para que sea una buena elección de nombre.

Sí, tengo una noción previa de la velocidad instantánea.

Luego procede en tres pasos:

• Defínalo. (o darse cuenta de que es un concepto difícil de definir)
• Darse cuenta de que la velocidad instantánea es 'cercana' a la velocidad promedio en duraciones cortas
• Formalice el significado del enunciado anterior, concluyendo que la velocidad instantánea es igual al límite establecido.

Mis pensamientos:

Esto es algo muy común en matemáticas. Tenemos un concepto que es natural y que estamos acostumbrados a usar, pero cuando tratas de definirlo cuidadosamente en todas las situaciones, la definición simple no funciona en general.

Otro ejemplo es el área. El área de un rectángulo se define y comprende fácilmente (largo por ancho). Pero, ¿qué pasa con el área de un círculo o una elipse, o entre una parábola y una cuerda? ¿Cómo define exactamente esas áreas? No se trata simplemente de decir "el área de un círculo es$\pi r^2$." Después de todo, si solo vamos a llamar definición a una fórmula, ¿por qué usar$\pi$? ¿Por qué no decir simplemente "el área de un círculo es$3r^2$"? La razón obvia es:$3$no funciona$\pi$hace.

Y esa es la clave: no queremos cualquier definición de área. Queremos una definición que satisfaga ciertas propiedades útiles, más particularmente la propiedad de que si divides una forma en partes, la suma de las áreas de las partes debe ser el área del todo, y la propiedad de que si una forma está contenida dentro de otra , su área es menor o igual que el área del otro. Combinamos esto con un truco que Eudoxus nos enseñó hace mucho tiempo: si solo hay un número que funciona, ¡ese es el número que quieres! un circulo de radio$r$no puede tener un área mayor que$\pi r^2$porque para cualquier valor mayor, podemos cubrir el círculo con un grupo de rectángulos cuya área total sea menor que ese valor. Así que el área del círculo debe ser aún más pequeña. Y por cualquier valor inferior a$\pi r^2$, podemos encontrar un grupo de rectángulos que no se superponen dentro del círculo cuyo área total es mayor que ese valor, por lo que el área del círculo también debe ser mayor.$\pi r^2$es el único valor que funciona. Así que definimos el área del círculo como$\pi r^2$.

Comentarios similares se aplican a la velocidad instantánea. La definición simple de velocidad se descompone en un solo punto. Pero si asumimos que el concepto tiene sentido y decidimos que queremos que tenga la propiedad de que cuando el intervalo de tiempo se hace más corto, la velocidad promedio debería aproximarse a la velocidad instantánea, entonces para la mayoría de las funciones de distancia de interés, descubrimos que hay de hecho, sólo un valor al que se aproximan las velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más reducidos. Cualquier otro valor se aproximará por un tiempo, pero a medida que el intervalo se reduce más, la velocidad promedio comienza a alejarse de esos valores. Así que le damos un guiño a Eudoxo nuevamente y definimossiendo la velocidad instantánea el valor al que siempre se aproxima. (Si nuestras velocidades no se acercan a un solo valor, entonces no definimos una velocidad instantánea para tales funciones de distancia).

La definición que usamos para la velocidad instantánea es así porque es el único valor que tiene sentido para el concepto.

Su primera ecuación es la velocidad promedio, eso es lo que realmente podemos medir con instrumentos físicos, la segunda es la velocidad instantánea, que es un concepto ideal (ya que todo se define como un límite) y no se puede medir realmente en nuestro mundo natural, entonces es solo un objeto matemático (un límite, una derivada) en el mismo sentido que las esferas o cualquier otro objeto geométrico no existe en nuestro mundo físico, solo podemos construir esferas "imperfectas" (en un sentido platónico).

Como otros han señalado, esta es realmente una pregunta filosófica.

Como físico, no tengo ningún problema con que no haya diferencia de tiempo en un "instante", porque acepto que la relación de dos cantidades iguales a cero puede ser finita.

Sin embargo, para que el concepto sea matemáticamente sólido, podemos tomar:

• Enfoque estándar: defina la velocidad instantánea como el límite de la velocidad promedio a medida que el intervalo de tiempo se reduce a cero.

• Enfoque de análisis infinitesimal suave: el continuo no está hecho de puntos, sino de segmentos infinitesimalmente pequeños. Entonces los "instantes" de tiempo no existen, solo hay intervalos de tiempo infinitesimalmente cortos, y el problema de la partícula que no se mueve desaparece.

La velocidad instantánea se considera mejor como una tangente a la curva continua que representa la posición en el tiempo o de manera equivalente como un vector con una magnitud y dirección en un instante específico en el tiempo. No es realmente un promedio. La idea de límites en cálculo trata sobre lo que le sucede a la función cuando un valor específico tiende hacia otro valor. En este caso, qué pasa con dS/dt cuando dt=>0, donde S es el desplazamiento y t es el tiempo.

El límite codifica información sobre el comportamiento de las velocidades promedio en intervalos de tiempo$(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$, cuando$\epsilon>0$se hace pequeño Por lo tanto, es una aproximación de la velocidad media de la partícula en un intervalo alrededor de$t_0$tan pequeña que la función en este pequeño intervalo podría suponerse, para todos los propósitos prácticos, que es lineal. Llamemos a este intervalo$(t_0-\epsilon_0, t_0+\epsilon_0)$. Por supuesto, para diferentes funciones.$f$,$\epsilon_0$Será diferente. La belleza de la definición de límite es que no importa cuán pequeño$\epsilon_0>0$es para una función dada, lo que importa es que tal intervalo exista. Entonces, la velocidad instantánea es la velocidad promedio que tiene una partícula en algún intervalo que es tan pequeño que se puede suponer que la partícula avanza linealmente en este intervalo, es decir, si elijo$n$momentos igualmente espaciados en este intervalo para medir la posición de la partícula, veré que cada momento la posición habrá aumentado en la misma constante.

Nota: mi respuesta es bastante informal, pero espero que entiendas lo que quiero decir.

Si la trayectoria de una partícula es "suave" (diferenciable, si te gusta este término) puedes definir el número$\lim_{t_1 \to t_0} \dfrac{f(t_1)-f(t_0)}{t_1-t_0}$y ese número representa lo que llamamos velocidad instantánea o velocidad en el momento$t_0$.

Su pregunta sobre cómo puede haber algún movimiento y cambio de tiempo en un solo instante es más de naturaleza filosófica y realmente no sé si existe la velocidad de algún objeto físico en algún instante de tiempo o incluso si existen "instantes de tiempo". en absoluto. Tenga en cuenta que dentro de la física clásica, este método de descripción de partículas puntuales fue útil y que de alguna manera cumple su propósito.

Puede obtener dos límites

Para una función suave, se aplica el desarrollo de Taylor.

En particular, con sólo el término constante

Ahora calcula el promedio

Cuando toma el límite, el último término desaparece, por lo que las velocidades promedio e instantánea coinciden , contradiciendo la objeción "es solo el límite de la función de velocidad promedio".

El concepto tiene una larga historia...

La definición de velocidad (media) se remonta a Aristóteles.

Podemos encontrarlo en los Discursos y demostraciones matemáticas relativas a dos nuevas ciencias de Galileo (en italiano: Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ), publicado en 1638.

Ver: traducción al inglés de Henry Crew y Alfonso de Salvio, (1914):

[ TERCER DÍA - página 190 ] MOVIMIENTO UNIFORME Al tratar con el movimiento constante o uniforme, necesitamos una sola definición que doy de la siguiente manera:

DEFINICIÓN Por movimiento estacionario o uniforme , entiendo aquél en el que las distancias recorridas por la partícula en movimiento durante intervalos de tiempo iguales son iguales.

Pero las cosas han progresado desde los tiempos de Aristóteles:

[ TERCER DÍA - página 198 ] MOVIMIENTO NATURALMENTE ACELERADO [...] un movimiento uniforme y continuamente acelerado cuando, durante cualesquiera intervalos iguales de tiempo, se le dan incrementos iguales de velocidad. Así, si han transcurrido intervalos de tiempo cualesquiera que sean iguales, contados desde el momento en que el móvil dejó su posición de reposo y comenzó a descender, la cantidad de velocidad adquirida durante los dos primeros intervalos de tiempo será el doble de la adquirida durante el primero. intervalo de tiempo solo; por lo que la cantidad añadida durante tres de estos intervalos de tiempo será el triple; y que en cuatro, el cuádruple del primer intervalo de tiempo.

Para decirlo más claramente, si un cuerpo continuara su movimiento con la misma velocidad que había adquirido durante el primer intervalo de tiempo y mantuviera esta misma velocidad uniforme, entonces su movimiento sería el doble de lento que el que tenía. tendría si su velocidad hubiera sido adquirida durante dos intervalos de tiempo.

Y así, al parecer, no estaremos muy equivocados si ponemos el incremento de velocidad como proporcional al incremento de tiempo [ énfasis añadido ]; por tanto, la definición de movimiento que estamos a punto de discutir puede enunciarse como sigue: Se dice que un movimiento está uniformemente acelerado cuando, partiendo del reposo, adquiere, durante intervalos de tiempo iguales, incrementos iguales de velocidad.

Aquí tenemos un "cambio conceptual" pequeño pero significativo: el incremento de velocidad es proporcional al incremento de tiempo.

Pero "obviamente" el tiempo es una magnitud continua .

Newton algunas veces más tarde escribirá :

Y por eso es que en lo que sigue considero las cantidades como si fueran generadas por un continuo aumento, a la manera de un espacio, que describe un cuerpo o una cosa en movimiento.

En conclusión, en cada "punto en el tiempo" podemos considerar los valores correspondientes de aquellas magnitudes generadas por continuo aumento (es decir, que son función del tiempo):

espacio, velocidad, aceleración.

Si hay dos velocidades calculadas en T1=T0 dependiendo de la dirección/referencia del tiempo acercándose a T1=To, entonces hay algún impulso implícito. Esto se describiría mediante una función delta de dirac con una magnitud igual al cambio de aceleración instantáneo necesario para cambiar entre las velocidades observadas

Puedes verlo de esa manera, la velocidad que algo tiene en ese momento es la velocidad que tendrá cuando de repente ya no actúen más fuerzas sobre él. Debido a que algo siempre tiene una velocidad, incluso si es 0, esa noción se define para cada momento, porque en un tiempo futuro se moverá, incluso si ese movimiento es 0. Entonces, la velocidad actual es la velocidad constante de su movimiento futuro si ninguna fuerza actuara sobre él.

En mi idea, es difícil ver la velocidad como un escalar absoluto y tener mucha más directiva cuando se piensa en una inconsistencia relativa.

La idea de velocidad se simplifica mucho, pero con la correlación con la coordinación, prefiero ver la velocidad y la velocidad como la medida de los cambios físicos en la coordinación.

Esto puede ayudar a comprender la idea de que en un instante no es posible ningún cambio en la coordinación, por lo que en un momento no hay velocidad ni velocidad.

Los términos son absolutos, pero cómo los ves afecta el problema

"El concepto de velocidad es por definición el movimiento dividido por el intervalo de tiempo entre la posición inicial y la posición final".

¿Dice quién?

Al igual que con cualquier otra noción conceptual, la definición es cualquier cosa que consideremos que a) responde a una pregunta deseada mientras que b) no se contradice a sí misma ni a otras definiciones relacionadas. Por ejemplo, nadie dice que los exponentes racionales no enteros deban considerarse comparables a las raíces; eso es simplemente un descubrimiento conveniente que se sincroniza muy bien con las propiedades ya establecidas (por los principios generales de la definición de multiplicación) de los exponentes enteros . Es la propiedad transitiva caída justo en nuestros regazos.

En este caso, uno podría simplemente decir que "velocidad" no tiene otro significado inherente que el que le asignamos, y colectivamente hemos decidido tratarlo como si fuera "naturalmente" la definición a la que nos referimos cuando en realidad decimos " velocidad promedio" (probablemente porque carecemos de la capacidad biológica para extraernos de la cuarta dimensión y así escapar de la compulsión de medir ese tiempo transcurrido como si tuviera una cantidad inevitablemente distinta de cero). Por lo que sabemos, es posible que ya tengamos los instrumentos para medir la velocidad instantánea; simplemente nos falta la capacidad de sacarnos del tiempo y, de hecho, hacerlo.

EDITAR: OK, dado que mi respuesta ha frotado algunos de manera incorrecta, considerémoslo de esta manera: no es cierto decir que en un sentido instantáneo, sin tiempo transcurrido, "no hay velocidad".

"No" implica "cero".

La velocidad no es cero en este caso, es la forma indeterminada 0/0. (A pesar de las creencias de varios de mis alumnos en sentido contrario, 0 ÷ 0$\not =$0 automáticamente.) Es, en el mejor de los casos, poco claro; puede ser cero, o infinitamente grande, o alguna cantidad finita distinta de cero. Lo que exploran los límites (y, a través de ellos, la Regla de L'Hospital) es cómo podemos explorar tales cantidades singulares solo mirándolas indirectamente. Mi comentario anterior se redactó simplemente para sugerir que es tan probable que entendamos la velocidad instantánea como un caso limitado de velocidad promedio como que entendamos la velocidad promedio como una extensión de la velocidad instantánea.