Evaluar d100dx100(p(x)x3−x)d100dx100(p(x)x3−x)\frac{d^{100}}{dx^{100}}\left(\frac{p(x)}{x ^3-x}\derecha)

Question

Evaluar d100dx100(p(x)x3−x)d100dx100(p(x)x3−x)\frac{d^{100}}{dx^{100}}\left(\frac{p(x)}{x ^3-x}\derecha)

derivados
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Aditya Narayan Sharma

me dan eso $\dfrac{d^{100}}{dx^{100}}\left(\dfrac{p(x)}{x^3-x}\right) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ para algunos polinomios $f(x)$ y $g(x).$ $p(x)$ no tiene el factor $x^3-x$ y necesito encontrar el menor grado posible de $f(x)$ .

Mi intento: Estoy describiendo brevemente lo que hice. Fracciones parciales usadas para dividir $\dfrac{1}{x^3-x}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x}+\dfrac{C}{x-1}$

Ahora diferenciando esto $100$ veces dio después de la simplificación el denominador $[x(x+1)(x-1)]^{303}$ mientras que el numerador del producto por pares de los factores del denominador.

Eso es, $\dfrac{d^{100}}{dx^{100}}\left(\dfrac{p(x)}{x+1}\right) =-A(100)!\left( \dfrac{a_0+a_1 x+\cdots +a_m x^m}{(x+1)^{101}}\right)$ . donde grado de $p(x)$ es $m$ . Los otros dos factores también produjeron un resultado similar y al sumarlos la expresión final tuvo en numerador grado de $101+101+m=202+m$ .

Ahora bien, se alcanza el menor grado posible si $m=0$ eso es $p$ es un polinomio constante. entonces la respuesta es $202$ .

Sentí que esta solución estaba bien, pero necesito consejos para asegurarme de cuánto obtendría de 15. ¡Gracias, i Advance!

Respuestas (2)

Evaluar d100dx100(p(x)x3−x)d100dx100(p(x)x3−x)\frac{d^{100}}{dx^{100}}\left(\frac{p(x)}{x ^3-x}\derecha)

przemo · Answer 1

Usando la regla de la cadena escribimos:

\begin{array}{rcl} \frac{d^{norte}}{d X^{norte}} (\frac{pag (X)}{X^{3} - X}) = \sum_{pag = 0}^{norte} (\binom{norte}{pag}) d^{norte - pag} pag (X) \cdot d_{X}^{pag} \underset{(- 1)^{pag} (\frac{1}{2} \frac{1}{(X - 1)^{pag + 1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{(X + 1)^{pag + 1}} - \frac{1}{X^{pag + 1}})}{\underset{⏟}{[\frac{1}{2} \frac{1}{X - 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{X + 1} - \frac{1}{X}]}} \\ \frac{1}{2} \frac{1}{{(X^{3} - X)}^{norte + 1}} \cdot \sum_{pag = 0}^{norte} (\binom{norte}{pag}) d^{norte - pag} pag (X) (- 1)^{pag} \cdot \underset{W_{norte, pag} (X)}{\underset{⏟}{[\begin{array}{lll} (X - 1)^{norte - pag} (X + 1)^{norte + 1} X^{norte + 1} + \\ (X - 1)^{norte + 1} (X + 1)^{norte - pag} X^{norte + 1} + \\ - 2 (X - 1)^{norte + 1} (X + 1)^{norte + 1} X^{norte - pag} \end{array}]}} \end{array}

$\begin{eqnarray} &&\frac{d^n}{d x^n} \left(\frac{p(x)}{x^3-x}\right) = \sum\limits_{p=0}^n \binom{n}{p} d^{n-p} p(x) \cdot d_x^p \underbrace{\left[ \frac{1}{2} \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2} \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \right]}_{(-1)^p\left(\frac{1}{2} \frac{1}{(x-1)^{p+1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{(x+1)^{p+1}} - \frac{1}{x^{p+1}}\right)}\\ &&\frac{1}{2} \frac{1}{\left(x^3-x\right)^{n+1}}\cdot \sum\limits_{p=0}^n \binom{n}{p} d^{n-p} p(x) (-1)^p \cdot \underbrace{\left[ \begin{array}{lll} (x-1)^{n-p} (x+1)^{n+1} x^{n+1} +\\ (x-1)^{n+1} (x+1)^{n-p} x^{n+1} +\\ -2 (x-1)^{n+1} (x+1)^{n+1} x^{n-p}\\ \end{array} \right]}_{{\mathfrak W}_{n,p}(x)} \end{eqnarray}$

dónde

\begin{array}{rcl} W_{norte, pag} (X) = 0 \cdot X^{3 + norte + 2 - pag} + 0 \cdot X^{3 norte + 1 - pag} + [(norte - pag) (norte - pag - 1) + (norte + 1) (2 pag + 2 - norte)] \cdot X^{3 norte - pag} + \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} {\mathfrak W}_{n,p}(x) = 0 \cdot x^{3+n+2-p} + 0 \cdot x^{3n+1-p} + \left[(n-p)(n-p-1)+(n+1)(2p+2-n)\right]\cdot x^{3n-p} + \cdots \end{eqnarray}$

En otras palabras, el polinomio anterior es dos órdenes más bajo de lo que cabría esperar, es decir, los dos coeficientes de orden más alto desaparecen.

Por lo tanto la respuesta a tu pregunta es $2n + \mbox{deg$(p(x))$}$

roberto israel · Answer 2

Equivocado. Por ejemplo, si $p(x) = 1$ , $f(x)$ tiene grado $200$ .

Entonces, ¿dónde se equivocó? Si $p(x)$ no es un polinomio constante, ¿satisfacería el resultado que probé?

Evaluar d100dx100(p(x)x3−x)d100dx100(p(x)x3−x)\frac{d^{100}}{dx^{100}}\left(\frac{p(x)}{x ^3-x}\derecha)

Aditya Narayan Sharma

Respuestas (2)

przemo

roberto israel

Aditya Narayan Sharma

El polinomio P(x)P(x)P(x) tiene nnn raíces reales en el intervalo [a,b][a,b][a,b]. Demuestre que la derivada (n−1)st(n−1)st(n-1)^{st} tiene al menos una raíz en el intervalo [a,b][a,b][a,b].

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