¿El operador del vector de momento angular J⃗ ^J→^\hat{\vec{J}} no tiene estados propios?

En primer lugar$\vec{J}$no es un operador hermitiano de un espacio de Hilbert al mismo espacio de Hilbert, sus tres componentes por separado lo son. Por lo tanto, nada requiere que deba existir una base ortonormal de vectores propios de$\vec{J}$, que es una base ortonormal de vectores propios simultáneos de$J_x$,$J_y$,$J_z$. De lo contrario, estos operadores conmutarían por pares, lo cual es falso.

No obstante, pueden existir algunos vectores propios comunes, si no forman una base completa.

De hecho, hasta factores, sólo existe un vector de ese tipo, el que suele indicarse por$|0,0\rangle$referido a la base común de vectores propios de$J^2, J_z$. En este caso$J_i|0,0\rangle =0$para$i=x,y,z$.

(Me refiero aquí al momento angular orbital en el espacio$L^2(\mathbb S^2)$(sin tener en cuenta los grados de libertad no angulares). Si, en cambio, considera el momento angular total, incluido el giro,$|0,0\rangle$no existe si el espín es medio entero)

$\hat{\vec J}$no es en realidad un operador hermitiano (bueno, ni siquiera un operador en el espacio de Hilbert, sino un operador lineal de$H$a$H^3$), sino una composición de tres de ellos. Una forma de verlo es que los valores propios son escalares, no vectores. Cada componente de$\hat{\vec J}$es hermítico, como también lo es$J^2$, este último conmuta con cada componente individual de$\hat{\vec J}$.

Creo que la respuesta es esta:

cuando decimos que el momento angular no tiene un estado propio, en realidad queremos decir que no lo tiene en el "sistema de coordenadas cartesianas". La razón es que usted sabe, es decir, los componentes no pueden conmutar. Sin embargo,$\vec{J}$es hermítica y dado que cualquier matriz hermítica se puede diagonalizar, debe tener un estado propio, pero no sabemos cómo podemos encontrarlo. Si podemos resolver$\vec{J}$en componentes que conmutan, entonces podremos encontrar sus estados propios.

Como los componentes del operador angular$\hat J$no conmuta, no podría encontrar un vector que sea un estado propio de los tres componentes$\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$, hablar de los estados propios del operador angular generalmente necesita definir una dirección de referencia como "estados propios de$\hat J \cdot \vec x,\,\, \hat J \cdot \vec z$o$\hat J \cdot \vec n$"