SU(2)SU(2)SU(2) Simetría del modelo de Hubbard

estoy confundido con el$SU(2)$simetría de rotación de espín del fermión Hubbard hamiltoniano. Si el modelo Hubbard tiene$SU(2)$simetría rotacional, significa que el hamiltoniano de Hubbard conmuta con el operador de espín global en todas las direcciones:

$$\begin{equation} [\vec S, H] = 0 ~~,~~ \vec S = \frac{1}{2}\sum_{i} \begin{pmatrix} c^{\dagger}_{i \uparrow} & c^{\dagger}_{i \downarrow} \end{pmatrix} \vec{\sigma} \begin{pmatrix} c_{i \uparrow} \\ c_{i \downarrow} \end{pmatrix} \end{equation}$$ Dónde$\vec \sigma$son las matrices de Pauli en forma vectorial. Mi confusión es que si$[\vec S, H] = 0$implica$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$. He probado que son iguales a cero pero pensé que mi cálculo estaba mal. La razón por la que creo que mi cálculo es incorrecto ya que si ambos$S_{x}, S_{y} , S_{z}$viaja con$H$, significa que comparten simultáneamente los mismos estados propios y$[S_x, S_y] = 0$. Sin embargo, sabemos que del curso QM elemental: $$\begin{equation} [S_{i}, S_{j}] = i \epsilon_{ijk} S_{k} ~~,~~ ijk = xyz \end{equation}$$ En mi opinión,$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$no es cierto porque no pueden satisfacer$SU(2)$relación de conmutación si todos conmutan con$H$. ¿Puedo saber si es cierto que$[\vec S, H] = 0$implica$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$?