¿El número π es empírico o a priori?

Usé el ejemplo de π, pero esto también se aplica a otros números trascendentales, como e

Kant clasificó las declaraciones en 4 categorías epistémicas basadas en dos criterios: la distinción Analítico/Sintético (¿Son las declaraciones verdaderas por definición o necesitamos información externa para determinar su verdad) y la distinción A Priori/A Posteriori (Son independientes de la evidencia empírica o no).

En particular llegó a la existencia de verdades sintéticas a priori, en oposición a Hume que creía que todos los enunciados eran analíticos a priori o sintéticos a posteriori.

Ni Kant ni Hume creían que las verdades analíticas a posteriori fueran posibles.

Mi pregunta es sobre el cálculo de π hasta un número arbitrario de dígitos:

  • Es un número, por lo que presumiblemente contiene su propia definición: ¿Está diciendo "π hasta 88 dígitos = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034" es una declaración analítica "Dos a priori"?
  • Pero más allá de un cierto número de dígitos, nadie puede venir con los nuevos dígitos por su cuenta, tendrían que depender de una computadora para realizar el cálculo, por lo que es una analítica a posteriori (y Kant se equivocó al considerar las verdades analíticas a posteriori). no existía)?
  • π no es realmente un número, es un símbolo que es la abreviatura de una relación matemática compleja, y como tal "π hasta 88 dígitos = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280 ¿una verdad a priori es sintética?
  • Pero no podemos calcular "π hasta 2288 dígitos" sin realizar un procedimiento mecánico. Entonces, π es en realidad un hecho empírico sobre el mundo, es decir, sintético a posteriori. ¿Es entonces π una constante empírica, similar a la constante gravitacional oa la carga de un electrón?

¿Cómo clasificaría Kant a π? ¿Cómo sería Hume? Si π es empírico, ¿no hace que la teoría esté cargada, según la tesis de Quine-Duhem y π cambiaría dependiendo de algunos cambios en los axiomas de las matemáticas o la geometría? ¿Cuál es el estatus epistémico de π? Dado que nunca podemos conocer completamente el "verdadero valor" de π, ¿es una cosa en sí misma, parte del noúmeno?

Sus primeros tres puntos son incorrectos: 1) "π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078" es simplemente una falsedad. 2) Cada cálculo que puede hacer una computadora, un humano puede hacerlo a mano (más lentamente). Solo usamos computadoras para hacer estos cálculos más rápido y más fácilmente. No es relevante aquí. 3) Estás combinando pi-el-símbolo y pi-el-número. Las oraciones que involucran a pi usan el símbolo pi, pero las proposiciones en sí mismas se refieren a un número. El número se puede definir o representar en una variedad de formas cualitativamente diferentes.
@Era gracias por señalarlo. Hice algunos cambios.
Relacionado: ¿Cómo definió Kant el conocimiento? . Como en sus Fundamentos metafísicos de las ciencias naturales, las matemáticas se describen como el ejemplo de una construcción con certeza apodíctica, es decir, una ciencia en un sentido propio.
Estoy con @Era, el problema es que pi no es una secuencia de dígitos, es una relación geométrica, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Todas las aproximaciones 'sintéticas' no tienen nada que ver con la naturaleza analítica del número real. Que pi sea constante es un descubrimiento a posteriori. Podríamos haber vivido en alguna variedad hiperbólica, donde no podríamos haber descubierto que la relación se cumple. Si existe, sin embargo, las reglas al respecto no son sintéticas, ni siquiera su valor. Es un hecho analítico a posteriori, como gran parte de las matemáticas.
Los números no son hechos o cosas por descubrir. De lo que estás hablando es de hechos sobre pi , como su expansión decimal. Cualquier hecho dado sobre pi es analítico dadas las definiciones de todos los términos en el enunciado. En términos más generales, cualquier hecho sobre pi tiene el mismo estatus que prácticamente cualquier otro hecho de las matemáticas. La existencia u otro estatus metafísico de los números como objetos es una cuestión aparte. Quizás más interesantes que los trascendentales como pi o e son aquellos cuyos dígitos no se pueden calcular mediante ningún proceso mecánico, que resulta ser casi todos números.
Los dígitos de pi están completamente caracterizados por un programa de computadora de longitud finita . en.wikipedia.org/wiki/Computable_number Los números computables son de poco interés ontológico ya que un estudiante de secundaria podría generar dígitos durante todo el día, sujeto a los recursos informáticos. La pregunta más interesante es la existencia de los números no computables.

Respuestas (2)

Kant solo tenía tres categorías epistémicas, las analíticas a posteriori son altamente problemáticas (incluso Kripke habla solo de necesarias a posteriori). En cuanto a π, originalmente se definió como una relación entre la circunferencia y el diámetro, y solo dos mil años después se relacionó con números y expansiones decimales. Aún así, uno podría definirlo como un número usando una de las muchas expansiones de series, fracciones continuas, etc., conocidas en la época de Kant. Independientemente, como toda aritmética y geometría, todas esas definiciones (o más bien construcciones implícitas en ellas) son sintéticas a priori, la diferencia sería solo si se trata de una síntesis a priori en el espacio (geometría) o en el tiempo (aritmética).

Kant da un ejemplo famoso de un a priori sintético similar en la Crítica de la razón pura, 7+5=12 :"El concepto de doce no se piensa de ninguna manera simplemente pensando en la combinación de siete y cinco; y por más que analicemos esta posible suma, no descubriremos doce en el concepto. Debemos ir más allá de estos conceptos, llamando en nuestra ayuda a alguna imagen concreta [Anschauung], es decir, o nuestros cinco dedos, o cinco puntos (como dice Segner en su Aritmética), y debemos sumar sucesivamente las unidades de los cinco, dado en alguna imagen concreta [Anschauung], al concepto de siete. De ahí que nuestro concepto sea realmente ampliado por la proposición 7 + 5 = 12, y añadimos al primero un segundo, no pensado en él. Los juicios aritméticos son, por lo tanto, sintéticos, y tanto más claramente cuanto más grandes sean los números...". Obviamente, a medida que tomamos números más grandes, un ser humano vivo puede quedarse sin tiempo para sintetizar la intuición requerida. Pero nuestra comprensión también tiene la capacidad de proyectar extensiones indefinidas de nuestras intuiciones (como con la inducción matemática, por ejemplo), por lo que podemos intuir que es posible en principio.Esta última parte fue desarrollada sistemáticamente por los descendientes matemáticos de Kant, Hilbert y los intuicionistas, ver ¿ Hubo una influencia kantiana en el programa formalista de Hilbert?

Hume tampoco tendría ningún problema, la lógica y las matemáticas para él son relaciones de ideas, y todo en ellas es analítico a priori, es decir, tautológico. Kant fue demasiado optimista cuando escribió: " Porque entonces habría reconocido que, según su propio argumento, las matemáticas puras, que ciertamente contienen proposiciones sintéticas a priori, tampoco serían posibles; y de tal afirmación su buen sentido se habría salvado". a él", debería haber leído el Tratado de Hume, no solo su Investigación. Sería una pregunta más interesante para Frege, para quien la aritmética era analítica a priori y la geometría sintética a priori, pero probablemente diría que equiparar π geométrico y analítico es donde se vuelve sintético Las consideraciones prácticas generalmente no preocuparon a los epistemólogos tradicionales, ya sea Platón, Hume, Kant, Frege o Husserl.

Sin embargo, la pregunta es interesante incluso desde la perspectiva moderna. Si todo el conocimiento es empírico, como sostiene la epistemología naturalizada de Quine, y π es otra constante fundamental de la naturaleza, ¿cómo es que tenemos que medir la velocidad de la luz, mientras que no hay medidas físicas involucradas en el cálculo de π con alguna precisión? Ver ¿La geometría es matemática o empírica?

Kant lo toca oblicuamente en la primera crítica; Cavailles lo amplía: usa círculos mientras que Kant usó triángulos.

Primero pi , como ya han señalado los comentarios, no está definido por alguna expresión decimal; se define geométricamente como una razón.

De ahí que sea a priori , pero también sintética , ya que debe tener en cuenta la construcción sintética de los sujetos del espacio geométrico: el teatro cartesiano.

Por lo tanto, juzgaría a pi como un sintético a priori .

Tomaría este punto, como donde Gauss tomó la 'laxitud' introducida por Kant para teorizar espacios no cartesianos.

Como todo colegial sabe, los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados; pero Kant objeta, y dice que esto no es necesariamente así, por razones puramente a priori ; Cavailles, siguiendo a Kant, o más bien ampliando su línea o línea de pensamiento, introdujo el ejemplo de un círculo, y parecería que el mismo argumento se mantendría para pi .

Pi no requiere geometría para definirse, simplemente se encontró primero en geometría.
@Mozibur Ullah Parece que Kant debería ir a la escuela, ¿no?
@Mozibur Ullah, creo que sí.
@Era ¿Por qué Pi no requiere geometría para definirse?
@RamTobolski se puede definir de varias maneras diferentes, no todas geométricas. Por ejemplo, se puede definir como el límite de una serie infinita. También hay una definición que proviene de la probabilidad, aunque creo que en realidad se usa algo de geometría.
@MoziburUllah Los arcsin y arctan son definiciones de series infinitas de esas funciones , es decir, no usan las definiciones geométricas de esas funciones. De manera similar, cualquier definición que use esas u otras funciones trascendentales (como el último ejemplo en esa página) puede reformularse usando la expansión de la serie. Terminas con algo feo pero correcto y no geométrico.
@MoziburUllah Puedo ver cómo parece circular, pero no lo es. En matemáticas, es irrelevante cómo se derivó realmente algo en primer lugar. Dado que las definiciones son equivalencias, podemos hacer que vayan en cualquier sentido, es decir, podemos elegir con qué definiciones comenzar y derivar todas las demás. Está bien establecido que las matemáticas no tienen un solo conjunto fundamental de axiomas. Así, una persona puede tener conocimiento de pi y sus propiedades sin saber nada de geometría.
@muz: no es irrelevante, cuando uno mira la imagen genealógica de las matemáticas; la palabra que se usa a menudo allí en un punto de cambio es motivación ; también es la imagen utilizada para la pedagogía. Pero dejémoslo aquí, los comentarios no son realmente para argumentos sino para aclaraciones.
Cualquiera que sea su noción básica de pi, todavía no es una secuencia de expansiones decimales. Incluso si es el límite de una secuencia, esa secuencia no es su conjunto de desarrollos decimales.
@jobermark: de acuerdo; sin embargo, se me ocurre que, aunque no dividimos enteros infinitos entre sí, tal división podría hacerse rigurosa definiendo un límite de una secuencia de divisiones parciales; aun así, creo que la definición geométrica, si uno tuviera que hacer alguna elección libre, es la mejor; porque relaciona los números con la geometría, es históricamente exacto; uno solo tiene que mirar la geometrización de la teoría de números a través de esquemas, o la física a través de la teoría de calibre para ver que 'volverse geométrico' es una estrategia matemática general, no diré filosofía.
(Penrose hace eso, en la construcción del número surrealista.) De acuerdo. Solo estaba señalando que la primera objeción de Era no viene al caso. Cualquier definición que sea básica, es básica, y la motivación dada no está relacionada con el tema en cuestión.
¿El número π es empírico o a priori?
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