¿Cómo se relacionan el momento clásico y el cuántico de manera intuitiva?

Básicamente, ¿alguien puede explicar cómo el impulso de una onda de probabilidad (dado por p = h/λ) es el mismo que el impulso de la partícula que describe la onda de probabilidad (dado por p = mv)?

Es difícil explicar esto con una respuesta corta, ya que incluso para comenzar a avanzar hacia una "respuesta" a esta pregunta, se requiere explicar muchos de los conceptos básicos de la Mecánica Cuántica. Y estos conceptos básicos están algo inexorablemente atrapados en un formalismo matemático que al menos requiere que entiendas de cálculo... pero de todos modos, intentemos...

En la mecánica cuántica de una sola partícula, uno descubre que, desafortunadamente, uno simplemente no puede hacer predicciones totalmente deterministas sobre la posición de una "partícula" (para esta discusión, una "partícula" significa algo así como un electrón). En cambio, uno tiene que caracterizar una partícula como descrita por una función de onda de probabilidad-amplitud (a menudo llamada$\Psi(x,t)$, dónde$x$es un argumento de posición espacial).

El cuadrado absoluto de la amplitud de probabilidad da la densidad de probabilidad de que la partícula esté "en x".

Por ejemplo,$\int_{x_1}^{x_2}|\Psi(x,t)|^2dx$es la probabilidad de que la partícula esté entre$x_1$y$x_2$en el tiempo t

Por ejemplo,$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=1$(dado que la integral de una densidad de probabilidad sobre todos los valores posibles es 1).

La mecánica cuántica también nos da una forma de averiguar cómo funciona la onda.$\Psi(x,t)$cambia con el tiempo. La ecuación que determina cómo$\Psi(x,t)$cambia con el tiempo se llama ecuación de Schrödinger.

Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger "libre" que determina cómo una función de onda de partículas "libres"$\Psi_f$cambia con el tiempo es:

$$\frac{i\hbar\partial \Psi_f(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_f(x,t)}{\partial x^2}\;,$$ dónde$\hbar = h/(2\pi)$y$m$es la masa de la partícula.

Dado que$|\Psi(x,t)|^2$es la densidad de probabilidad, podemos (utilizando la teoría de la probabilidad, como de costumbre) calcular el valor esperado de "X", la posición. Este valor esperado es:

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x|\Psi(x,t)|^2dx$$

También podemos calcular el valor esperado de "P", el impulso. Este valor esperado es:

$$E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi(x)}{\partial x}dx\;,$$ donde el "$*$" significa "complejo conjugado" (el cuadrado absoluto de una función compleja es$|\Psi(x,t)|^2=\Psi^*(x)\Psi(x)$).

Esto lleva a definir el "operador de cantidad de movimiento" como

$$\hat P = -i\frac{\partial{\;\;}}{\partial x}$$

En mecánica cuántica, el "momento de" una partícula en un estado$\Psi$se determina intercalando el "operador de cantidad de movimiento" entre$\Psi^*$y$\Psi$e integrándose sobre todo el espacio. Tenga en cuenta que aunque dije el "momento de", lo que debería haber dicho era "el valor esperado del momento". El valor real medido del impulso puede ser cualquier valor desde infinito negativo hasta infinito y la densidad de probabilidad para el impulso (resulta) es en realidad la transformada de Fourier (con respecto a x) de$\Psi(x,t)$. De manera similar, el valor real medido de la posición puede ser cualquier cosa, desde infinito negativo hasta infinito, pero el "valor esperado" es la ponderación de todos estos por la probabilidad$|\Psi(x)|^2$.

La gente a menudo simplemente llamará al "valor esperado del impulso" el "impulso" y podría escribir:

$$"p" = E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi(x)}{\partial x}dx\;,$$ Es bueno tener esto en cuenta ya que la partícula no "tiene" ningún momento específico, es decir, si medimos el momento cualquier valor es posible, pero dependiendo de la función de onda, algunas posibilidades pueden ser más probables que otras y también dado el función de onda se puede determinar el valor esperado .

DE ACUERDO. Entonces. Volviendo a nuestra ecuación de Schrödinger de partículas libres: podemos resolverla de la manera habitual simplemente adivinando la respuesta correcta (lo siento). Una solución pasa a ser:

$$\Psi_f(x,t) = e^{ip_0x/\hbar-ip_0^2t/(2m\hbar)}\;,$$ dónde$p_0$es un parámetro con unidades de cantidad de movimiento.

Desafortunadamente, esta solución no es realmente aceptable ya que no se puede normalizar (su integral al cuadrado no se puede igualar a uno como se debe hacer para las amplitudes de probabilidad reales). Sin embargo, sigamos adelante.

Según nuestra maquinaria, para calcular el valor esperado del impulso. Deberiamos:

$$"p" = E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi_f^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi_f(x,t)}{\partial x}dx = p_0\int|\Psi(x,t)|^2\;,$$ que equivaldría a "$p_0$" excepto por el desafortunado hecho de que nuestra pobre función de onda no es normalizable. Sin embargo, parece justificar un poco la afirmación de que$\frac{-i\partial}{\partial x}$es un "operador de cantidad de movimiento" razonable.

La parte espacialmente dependiente de nuestro$\Psi_f(x,t)$es solo

$$e^{ip_0x/\hbar}\;,$$ que es una onda (compleja) en el espacio.

La longitud de onda de esta onda está dada por la distancia en x que debe recorrer la onda hasta que el argumento va de cero a$2\pi$(ya que una onda se repite cada vez que la fase (la parte que multiplica la$i$) pasa por otro$2\pi$múltiple). Eso es cuando$ip_0 x$es$i2\pi$:

$$2\pi = p_0 (wavelength)/\hbar\;,$$ Lo que significa que: $$(wavelength) = \frac{2\pi\hbar}{p_0}\;.$$

Entonces, en nuestro caso inaceptable (no normalizable), parece que el "momento" de la "partícula libre" es:

$$"p_f" = \frac{2\pi\hbar}{(wavelength)}\;.$$

O bien, volviendo de$\hbar$a$h$, esto es:

$$"p_f" = \frac{h}{(wavelength)}$$

Es una hipótesis que se ajustaba a los datos experimentales. Vale la pena leer cómo la teoría cuántica evolucionó lentamente a partir de observaciones experimentales.

Einstein propuso que$E=hν$en el enigma de la radiación del cuerpo negro, y el impulso para esta hipótesis es$p=E/c=h/λ$para los fotones de masa cero.

De Broglie lo extendió a partículas masivas.

($h$la constante de Planck,$c$la velocidad de la luz$ν$la frecuencia de la luz y$λ$la longitud de onda).

Fue una hipótesis que se confirmó:

La fórmula de De Broglie se confirmó tres años más tarde para electrones con la observación de la difracción de electrones en dos experimentos independientes.

En el experimento de doble rendija de un solo electrón a la vez y el experimento de un solo fotón a la vez, se ve que las partículas masivas y sin masa generan los patrones de interferencia predichos en las distribuciones de probabilidad .

Básicamente, ¿alguien puede explicar cómo el impulso de una onda de probabilidad (dado por p = h/λ) es el mismo que el impulso de la partícula que describe la onda de probabilidad (dado por p = mv)?

Fue una hipótesis impulsada por la analogía con los fotones, los cuantos de luz, que fue confirmada mediante experimentos y finalmente existe dentro de la teoría de la mecánica cuántica tal como se desarrolló con matemáticas rigurosas.

El impulso cuántico es una versión "difusa" del impulso clásico: en particular, puede considerarse una versión del mismo con información limitada .

Para entender lo que significa "información limitada", considere este ejemplo ilustrativo . En la mecánica clásica, su momento clásico está representado por un número real, por ejemplo

$$p := 0.57701249053\cdots$$

o algo similar. Un número real arbitrario requiere una cantidad infinita de información para especificar: para especificar casi cualquier número real, sin restricciones, no hay (probablemente) otra forma más compacta de hacerlo que simplemente enumerar todos sus dígitos, que son infinitos en número.

Sin embargo, si solo mantuviéramos alrededor de un número finito de dígitos, por ejemplo

$$0.577$$

, ahora tendríamos una cantidad finita de información. Por supuesto, uno podría, al principio, al ver esa cadena de dígitos, preguntarse cómo es esto mejor; después de todo, ¿no es "0.577" solo un número real especial que es fácil de representar? Bueno, lo sería . si tomamos esta cadena como la representación del número real

$$0.57700000000000000\cdots$$

saliendo al infinito. Pero no estamos haciendo eso. Tomamos "0,577" como la especificación de un número que no es más preciso que la milésima más cercana. No está especificado para ninguna resolución más fina y, por lo tanto, no especifica un punto específico en el espacio, o aquí una fuerza específica de impulso. Este momento es, más bien, una cantidad no especificada entre 0,577 y 0,578, y para nuestro Universo real, parece que la cantidad más especificada, a su manera, simplemente no existe. El Universo es económico en asignar información para describir los objetos que contiene, y no es derrochador.

Sin embargo, la noción adecuada de información "limitada" para el Universo real no es tan simplista como "cortar" los dígitos de esa manera. En cambio, necesitamos una forma un poco más compleja de hablar sobre la limitación de la información que permita limitarla de diferentes maneras . Para ver un ejemplo, solo para abrir su mente a la posibilidad de que haya otras formas de carecer de información además de simplemente cortar los dígitos del final, tenga en cuenta que de otra manera podríamos escribir "$p$" con "menos información" sería

$$0.5770\mathrm{OEEOE}$$

donde hemos guardado algunos dígitos más ahora, pero ahora solo dando su paridad : aquí$\mathrm{O}$significa un dígito impar desconocido (es decir, 1, 3, 5, 7, 9) y$\mathrm{E}$significa que es un dígito par desconocido (es decir, 0, 2, 4, 6, 8). Tenemos, por lo tanto, alguna información sobre estos nuevos dígitos, pero no información completa. Hay más información que nuestra cadena "0.577", pero aún menos información que el número real completo.

Ahora, para hablar sobre el Universo real, tiene muchas, muchas formas en las que la información puede limitarse, y el mejor lenguaje que hemos creado para discutir cómo funciona es el lenguaje de las probabilidades , y este es el lenguaje que escribimos cuántica. teoría en. Para entender cómo/por qué las probabilidades son una forma de información, o más particularmente, una forma de hablar sobre la falta de información, solo considere cómo puede usarlas en un entorno ordinario. Si dice, en una conversación informal, que "solo estoy 75% seguro" de que algo será o no será el caso, está diciendo que en realidad no está tan informado de si será o no como si realmente sabía con certeza. Esa es realmente una probabilidad (ciertamente ad hoc), utilizada para representar un estado de información limitada en su mente.

Y eso es lo que hacemos en mecánica cuántica: ahora asignamos un valor de probabilidad a cada momento posible $p$de la partícula - algo que llamamos función de densidad de probabilidad , o pdf :

$$P(p)$$

de donde podemos obtener, mediante el uso del cálculo, la probabilidad real de que el impulso$p$está en cualquier rango especificado. Si hay una probabilidad muy alta de que esté en un rango estrecho y muy poca en cualquier otro lugar, podemos decir que, por el mismo razonamiento, tenemos mucha información sobre cuál es el impulso, y si el rango es amplio, podemos decir que tenemos poca información.

Ahora bien, en cuanto a la relación

$$p = \frac{h}{\lambda}$$

, esto requiere que hablemos un poco más de cerca de por qué necesitamos usar estas descripciones probabilísticas. En particular, el Universo parece tener un límite en el contenido de la información , del mismo modo que también tiene un límite en el movimiento de la información (la famosa velocidad de la luz). Y una consecuencia de esto aparece como que ciertos pares de parámetros físicos de un objeto, tales como su momento y posición , están limitados en cuanto a la información simultánea que puede existir para ambos en un momento dado.

Y no es simplemente que el Universo nos "oculte" información o que simplemente no seamos lo suficientemente inteligentes; si tratamos de asumir eso, y vamos lo suficientemente lejos con esa línea de teorización, en realidad terminamos en una especie de contradicción. contra el límite en el movimiento de información que acabamos de mencionar. Realmente parece, al menos para la hipótesis más simple, que la información es limitada. Tampoco es que no tenga información, así que sí, la Luna "todavía está allí cuando no estás mirando" [o al menos, no tenemos motivos para suponer que no es así, no sobre esta base de todos modos], al contrario de lo que piensas. Es posible que haya escuchado en algunos pop-cult ideas sobre este tema.

Sin embargo, en cualquier caso, este límite en la información simultánea da como resultado que haya un efecto de compensación en el sentido de que, una vez que solicita información para la mitad del par de parámetros más allá de cierto punto, comienza a excluir información en la otra mitad del par. Si intenta adquirir más información de la que ya está presente para esa mitad, destruirá parte de la información de la otra mitad.

Y la fórmula que mencionas en realidad está relacionada con eso. Describir realmente cómo obtenerlo siguiendo estas líneas requeriría un poco más de matemáticas para hacerlo completamente justo, pero una descripción en lenguaje sencillo es así. Dado que establecimos que existe una compensación entre la información de impulso y posición, resulta que la manerade compensación -recuerde que dijimos que la información puede faltar de diferentes maneras- es "justo así" una forma en que los momentos de alta información (es decir, una distribución de probabilidad estrecha y nítida), muy por encima del umbral de compensación para exigir una gran pérdida de información en la posición, manifiesta tal pérdida en la distribución de probabilidad posicional que adquiere (simplistamente hablando) un carácter ondulatorio. Y la longitud de onda de esas ondas está relacionada con el valor de impulso de alta precisión mediante la fórmula anterior.

En cuanto a por qué el Universo intercambia información de esa manera y no de otra manera, bueno, esa es una de esas preguntas metafísicas, no físicas. "Está construido/formado/lo que sea que creas de esa manera", al menos dado el alcance de nuestro conocimiento. Sin embargo, podemos decir que si no fuera así, la vida tal como la entendemos no podría existir, porque estos límites de información y compensaciones agregan una gran estructura a la materia, permitiendo que ocurra toda la complejidad de la química y, por lo tanto, también de la biología.