Momento cuántico (De Broglie)

En la relación de De Broglie$p=\hbar k$, el lado izquierdo representa el momento de una partícula , mientras que el$k$a la derecha está el número de onda de una onda . La clave aquí es que si la relación va a ser válida, la onda debe tener la amplitud correcta para representar exactamente una partícula.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una onda de luz que representa exactamente el valor de un fotón de luz. Tiene una cierta energía y frecuencia, relacionadas por$E=\hbar \omega$, y cierto momento y número de onda, relacionados por$p=\hbar k$.

Ahora supongamos que tomamos esa onda de luz y aumentamos su amplitud (es decir, la fuerza de sus campos eléctricos y magnéticos) por un factor de 2. Dado que la energía de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud, esto cuadruplica la energía. También cuadruplica el impulso. (Puedes ver esto usando la relación relativista$E=pc$para m=0, o usando el vector de Poynting). Pero no hemos cambiado$\omega$o$k$, por lo que esta onda viola las relaciones de De Broglie. La clave aquí es que esta onda ya no tiene la fuerza adecuada para representar un fotón. Representa cuatro fotones.

Juguemos con algunos números en el caso de la cuerda de guitarra. Decir$\omega$es de 1000 Hz, y$E$es 1 J. Cuando calculas$\hbar\omega$, obtienes algo muchos órdenes de magnitud más pequeño que esto$E$. Eso es porque no hay una sola partícula en la cuerda de la guitarra, hay muchas. La misma idea se aplica al impulso.

La suposición que hizo Plank a partir de su ley de radiación de cuerpo negro de Planck fue que la radiación electromagnética está cuantizada, solo toma múltiplos enteros de la cantidad$hf$, dónde$h$es la constante de Plank (con unidades de energía$\times$tiempo y$f$es la frecuencia de radiación (con unidades 1/tiempo). Esta es la energía de los cuantos de la radiación electromagnética - un fotón.

Entonces, en primer lugar, la constante de Plank$h$fue definida por Plank como una constante de proporcionalidad entre la energía$E$de un fotón y la frecuencia de su onda electromagnética asociada.

$E=hf$

Esto se puede reescribir en términos de longitud de onda, en lugar de frecuencia, usando la relación$f=c/\lambda$. Obtenemos:

$E=\frac{hc}{\lambda}$(1)

Además, de la relación energía-momento de la relatividad especial$E^2=m^2 c^4 + p^2 c^2$sabemos que para un fotón con masa en reposo cero,$m=0$, su energía está relacionada con su cantidad de movimiento a través de la relación:

$E=pc$(2)

Combinando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$, dónde$\hbar=\frac{h}{2\pi}$y$k=\frac{2\pi}{\lambda}$.

De Broglie supuso que las partículas también tienen propiedades ondulatorias, es decir, una frecuencia y una longitud de onda, y esto ha sido probado experimentalmente. Son partículas y ondas al mismo tiempo. Las propiedades ondulatorias de las partículas vienen dadas por las ecuaciones de de Broglie:

$f=\frac{E}{h}$y$\lambda=\frac{h}{p}$

Entonces, para la energía de una partícula dada$E$y el impulso$p$podemos encontrar su frecuencia y longitud de onda.