Esta pregunta es similar, pero no idéntica, a una que publiqué en Math SE hace algún tiempo. Originalmente no estaba seguro de dónde publicarlo. Creo que esta pregunta es lo suficientemente diferente como para justificar no migrar la otra.
Hay una cita famosa en The Computer and the Brain de von Neumann (publicada póstumamente), que dice:
Cuando hablamos de matemáticas, podemos estar discutiendo un idioma secundario, construido sobre el idioma principal que realmente usa el sistema nervioso central.
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Así, la lógica y las matemáticas en el sistema nervioso central, vistas como lenguajes, deben ser estructuralmente diferentes de aquellos lenguajes a los que se refiere nuestra experiencia común.
He leído los pasajes relevantes unas cuantas veces, y por lo que puedo ver, él está tratando de transmitir una afirmación del tipo: "El lenguaje matemático o lógico del sistema nervioso no es el mismo que usamos cuando lo hacemos". /hablar de matemáticas".
Desde una perspectiva moderna, podemos decir que el sistema nervioso es una red neuronal biológica, con (como sugirió el propio von Neumann en este libro) baja precisión pero alta confiabilidad. Y luego, presumiblemente, esta red neuronal es completa de Turing, y la forma real en que se realizan los cálculos no es importante: siguen siendo cálculos, y podrían haberse ejecutado en algún tipo de autómata celular.
La gente de la SE de matemáticas parece pensar que aquí no hay una sustancia matemática formal y que el problema es puramente filosófico.
Entonces mi pregunta es, ¿hay posiciones filosóficas que hagan más concreto este sentir de von Neumann? ¿Qué, en todo caso, añade/quita esto a una teoría de la mente? Estoy pensando particularmente aquí en la teoría computacional de la mente.
¿Había von Neumann en algo fundamental aquí sobre la naturaleza de las matemáticas como lenguaje?
Un aspecto que entra aquí es que la energía es continua y la lógica nunca lo es realmente. La red neuronal que constituye la mente no puede ser idéntica a ningún lenguaje lógico con un número finito de símbolos y, en última instancia, todos los lenguajes tienen un número finito de símbolos.
Los lenguajes pueden apuntar hacia un conjunto contable de valores, pero en realidad no pueden constituir uno, por lo que ni siquiera podemos tener un lenguaje que sea 'denso' en el rango de estados neuronales potenciales (la forma en que los números racionales son densos en los reales). No podemos afirmar razonablemente que el lenguaje humano tenga un continuo de puntos de referencia, pero el balance proyectado de cargas iónicas a lo largo del tiempo, la materia de la que está constituida nuestra memoria, a través del aprendizaje hebbiano, sí lo tiene naturalmente.
Entonces, hay aspectos básicos que la biología o la física siempre involucran pero que, en última instancia, no pueden ser capturados directamente en el lenguaje. Sólo podemos generalizar sobre ellos indirectamente. Entonces, cualquiera que sea el lenguaje que usemos para compartir o comunicar los contenidos del cerebro, se habrá simplificado por las necesidades de la narración. Esto requiere que sea discreto.
Las máquinas de Turing nunca calculan nada continuo, a menos que impongamos algún límite definido a la precisión. Por tanto, no son un modelo real de actividad biológica que no se haya reducido al lenguaje. El estado interno de una máquina analógica puede representar la complejidad total de una solución de dimensión fraccionaria de una ecuación diferencial, incluso si solo podemos leer la salida con una precisión determinada.
Esto realmente no ayuda a decir nada útil sobre ninguno de estos dos idiomas, pero prueba que tienen una diferencia esencial. Hay una máxima precisión del lenguaje que sólo puede aproximarse asintóticamente a la precisión de la realidad.
Conifold
Veedrac
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