¿Cómo aplicamos la ley de Ampère para bucles no planos?

¿Cómo aplicamos la ley de Ampère (magnetismo) para bucles no planos?

Su forma más general (o puedes decir la única que conozco) es

∮ C B ⋅ d yo = m 0 ∬ S j ⋅ d S
Pero, ¿qué significaría la corriente encerrada en el caso de bucles no planos? Me refiero a que una cantidad infinita de curvas puede contener dicho bucle. Como resultado, mientras que el lado derecho (integral de línea del campo B) sería el mismo en cada uno, la integral de la densidad de corriente sería diferente para cada curva (superficie o múltiple).

¿Podría indicar a qué forma de la ley de Ampère se refiere? En la forma en que sé, la corriente es arbitraria, por lo que no tiene que estar restringida a un bucle.
¿Es uno de los lados de la ecuación una integral de la densidad de corriente o es solo la corriente total?
Ok, necesitas el formulario, donde la integral de la densidad de corriente aún no está hecha, como la primera y la segunda parte de esta ecuación: wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/…
¿Qué significaría la corriente encerrada en el caso de bucles no planos? Una cantidad infinita de curvas puede pasar a través de dicho bucle.
Una cantidad infinita de curvas también puede pasar a través de un bucle plano. Simplemente elija cualquiera, que sea fácil de integrar.
Pero la corriente encerrada sería diferente para cada curva. mientras que la integral de línea permanece en cada caso.
Si la corriente encerrada por la curva es diferente para dos curvas, también lo es la integral del campo magnético a lo largo de ellas.
Cómo....?? El campo B a lo largo del bucle permanecería igual en cada caso, sin importar qué curva elegimos. Además, ¿qué puede significar la corriente encerrada por un bucle no plano?
Creo que estás confundiendo el bucle (que está dado por la densidad de corriente) y la curva de integración (que se puede elegir arbitrariamente). Dependiendo de su elección de la curva, obtendrá una ecuación que se puede resolver para el campo B o no. Por lo tanto, todas las opciones son posibles, pero no todas son útiles. Por lo general, su curva dependerá de algún parámetro, que luego se convertirá en una coordenada, de la que depende B. Le aconsejo que eche un vistazo a la derivación del campo magnético para un bucle plano y vea cómo la elección de la ruta de integración entra en el cálculo.
¿Qué es un bucle no plano?
un lazo que puede ser contenido completamente por un solo plano. o, más precisamente, el producto vectorial de dos longitudes cualquiera del lo0p sigue siendo el mismo (en cuanto a la dirección).
Todavía no entiendo tu pregunta y deberías editarla para eliminar los errores y aclararla. ¿Está preguntando cómo el lado derecho (tenga en cuenta que actualmente se refiere en su pregunta a que el lado derecho es una integral de línea del campo B) permanece igual para cualquier elección de superficie (no curva) delimitada por el bucle arbitrario ?

Respuestas (1)

Este es un material relativamente estándar, por lo que para los detalles puede consultar su libro de texto de EM favorito, pero esbozaré la descripción general.

El problema con la ley de Ampère, para cualquier tipo de bucle (¡incluidos los bucles planos!) es que hay muchas superficies S que comparten el mismo límite C = ∂ S , que hace la afirmación

∮ C B ⋅ d yo = m 0 ∬ S j ⋅ d S
un poco sospechoso, a menos que podamos (a) elegir una superficie canónica S para cada curva C , o (b) muestre que la integral de superficie en el lado derecho es en realidad independiente de la superficie que elijamos.

La resolución de esto es, de hecho, (b): el flujo de corriente realmente es independiente de la superficie que elija. Para probar esto, considere dos superficies S 1 y S 2 que comparten el mismo límite C , por lo que queremos demostrar que

∬ S 1 j ⋅ d S = ∬ S 2 j ⋅ d S ,
o, equivalentemente, que
◯ ∬ S j ⋅ d S = ∬ S 1 j ⋅ d S − ∬ S 2 j ⋅ d S = 0 ,
dónde S es la superficie cerrada que rodea el espacio entre S 1 y S 2 .

Ahora, hay un montón de maneras de demostrar que esa integral es de hecho cero, pero todas se reducen a esto: la integral de superficie cerrada ∯ S ⁡ j ⋅ d S representa la cantidad neta de carga que entra en el volumen entre S 1 y S 2 por unidad de tiempo, y para una situación estática, esa cantidad neta debe ser exactamente cero, o tendrías un crecimiento lineal de la carga encerrada en ese volumen, sacándote rápidamente de la situación estática en la que pensabas que estabas.

Por supuesto, esto significa que la ley de Ampère, tal como se formula aquí, ya no se puede cumplir sin modificaciones en situaciones dinámicas y, de hecho, en ese caso es necesario extenderla a la ley de Ampère-Maxwell, que incluye un término adicional en la integral de superficie . , y que nuevamente tiene la propiedad de que tiene independientemente de qué superficie S eliges integrarte.

Justo lo que estaba preguntando.
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