Gradiente en la coordenada Frenet-Serret

Simplemente estaba pensando que el gradiente en la coordenada de Frenet-Serret en un punto particular es similar al gradiente en la coordenada cartesiana. Simplemente asumí que el espacio de Frenet es un espacio ortonormal y el único término no nulo del gradiente$\phi$será$\frac{\partial\phi}{\partial s}\hat{e}_s$dónde$s$es la coordenada de longitud de arco (tangente), a lo largo de la curva de referencia. Sin embargo, cuando leí este artículo , me di cuenta del campo escalar$\phi$

$$\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{e_x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{e_y}+\frac{1}{h}\frac{\partial\phi}{\partial s}\hat{e_s}$$ donde el llamado factor de escala $h=1+\kappa(s)x$en el cual $\kappa(s)$es la curvatura local de la curva de referencia. ¿Cómo se muestra la curvatura de la curva de referencia en el gradiente escrito en el marco de Frenet? Esa es la parte que no entiendo. ¿Dónde estoy haciendo algo mal?