Velocidad del objeto que cae en un agujero negro, por debajo del horizonte de eventos

El problema es que en GR las coordenadas no necesariamente tienen un significado físico. Son solo una forma de etiquetar puntos en el espacio-tiempo. Por ejemplo, la coordenada de Schwarzschild$r$no es una distancia radial. En realidad, es la circunferencia del círculo centrada en el agujero negro y que pasa por tu punto dividida por$2\pi$. Es decir, cuál sería la distancia radial si el espacio fuera plano.

Esto significa que la velocidad coordenada$dr/dt$Tampoco tiene un significado físico. Seguro que puedes calcular$dr/dt$, por ejemplo, para el observador en el infinito, y encontraría que la velocidad coordinada para ese observador es:

dando el notorio resultado de que el objeto que cae se frena hasta detenerse en el horizonte.

Alternativamente, podría preguntar qué es un observador que se cierne a cierta distancia.$r$(estos se conocen como observadores de caparazón) observarían, es decir, a qué velocidad los pasaría el objeto que cae. Y en ese caso el resultado es:

y ahora encontramos que la velocidad con la que el objeto que cae pasa por el observador del caparazón tiende a$c$a medida que el observador de la concha se acerca al horizonte. La diferencia entre los dos resultados se debe a la dilatación temporal relativa entre el observador de la capa y el observador en el infinito.

De manera más general, el observador de la concha y el observador en el infinito siempre observarán velocidades diferentes. Si está interesado, analizo esto en detalle en mi respuesta a la pregunta ¿ La luz realmente viaja más lentamente cerca de un cuerpo masivo? Como se explica en esa respuesta, la velocidad coordinada puede ser mayor que$c$incluso fuera del horizonte, y esto se debe a que la velocidad coordinada no es una cantidad físicamente significativa.

Ahora está preguntando sobre la velocidad dentro del horizonte, pero esto es aún más difícil de discutir de manera significativa. Para cualquier observador fuera del horizonte, ningún objeto pasa nunca por el horizonte, por lo que no hay velocidad dentro para observar. Y dentro del horizonte es imposible quedarse fijo$r$por lo tanto, no podemos tener ningún observador de caparazón para ver el objeto que cae como un rayo. Supongo que lo mejor que podemos hacer es preguntar qué tan rápido el observador que cae observa que se acerca la singularidad, aunque tenga en cuenta que esto es teórico ya que ninguna luz de la singularidad podría llegar al ojo del observador. Y la respuesta de que la velocidad de hecho excedería$c$dentro del horizonte, aunque debo enfatizar nuevamente que no debes asignarle ningún significado físico a esto.