¿El entrelazamiento no es intrínseco al estado, sino que depende de la división en subsistemas? (Susskind QM)

Question

¿El entrelazamiento no es intrínseco al estado, sino que depende de la división en subsistemas? (Susskind QM)

Física
espinores
giro cuántico
operador de densidad
mecánica cuántica
entrelazamiento cuántico

johndecker

Estoy trabajando en el libro "Mecánica cuántica" de Susskind (serie TTM), que me gusta bastante.

Fondo

En la lección 7 (capítulo 7), estudia un sistema de 2 giros. Un solo espín tiene vectores propios:

| tu ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | d ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$|u\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},~~ |d\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

y luego un estado de 2 giros tiene vectores propios:

| tu tu ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | tu d ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | d tu ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), | d d ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$|uu\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},~~ |ud\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},~~ |du\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},~~ |dd\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

Alice estudia el primero con un operador. $\sigma$ y Bob el segundo con un operador $\tau$ (Estos son realmente operadores de productos de un solo giro $\sigma_z$ con la identidad $I$ : $\sigma_z\bigotimes I$ y $I\bigotimes\sigma_z)$ :

σ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) τ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ~~~ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Ahora para las cosas interesantes .

Podemos tener un estado de producto donde los dos giros ("subsistemas") son independientes (sin enredo):

ψ = (a_{1} | tu ⟩ + a_{2} | d ⟩) ⨂ (b_{1} | tu ⟩ + b_{2} | d ⟩)

$\psi ~=~ (a_1|u\rangle+a_2|d\rangle)\bigotimes(b_1|u\rangle+b_2|d\rangle)$

= a_{1} b_{1} | tu tu ⟩ + a_{1} b_{2} | tu d ⟩ + a_{2} b_{1} | d tu ⟩ + a_{2} b_{2} | d d ⟩ (1)

$~~~=~a_1b_1|uu\rangle+a_1b_2|ud\rangle+a_2b_1|du\rangle+a_2b_2|dd\rangle~~~(1)$

donde el $a_i$ y $b_i$ se normalizan por separado a $1$ de modo que si calculamos la expectativa para cualquiera de los giros, el otro no se tiene en cuenta en absoluto. Por ejemplo $\langle\psi|\sigma|\psi\rangle=a_1^2-a_2^2$ sin apariencia de $b_i$ .

Entonces Susskind dice que la mayoría de los coeficientes elegidos al azar de la $|uu\rangle...$ (normalizado) no se factorizará como en $(1)$ . Entonces se enredan. Y un ejemplo de un estado máximamente entrelazado es el estado singlete:

| S ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| tu d ⟩ - | d tu ⟩)

$|S\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle-|du\rangle)$

Ahora $\langle S|\sigma|S\rangle=0$ por lo que no tiene información sobre los giros individuales. Sin embargo, tiene información sobre mediciones correlacionadas, porque $\langle S|\tau\sigma|S\rangle=-1$ donde por multiplicación de matrices

τ_{z} σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\tau_z\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Susskind luego analiza cómo puede probar si un estado está entrelazado o no (y cuánto entrelazado) calculando la correlación de operadores $A$ y $B$ , o comprobando los valores propios de las matrices de densidad de un solo estado ( $\rho_{2x2})$ , que debe ser $\{1,0,0,0...\}$ , o comprobando si los coeficientes de estado $\{0,\frac{1}{\sqrt 2},-\frac{1}{\sqrt 2},0\}$ puede factorizar como en $(1)$ (no pueden).

Pregunta (reescrita después de respuestas útiles de tparker y Emilio Pisanty)

¿No son todas estas pruebas de enredo relativas a los operadores 4x4 elegidos, $\sigma_z$ y $\tau_z$ , que reflejan una elección particular de dividir el estado en subsistemas?

En lugar de una subdivisión basada en los dos giros, podemos subdividir en función de $|S\rangle$ y los estados del triplete $|T_1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle+|du\rangle),~~|T_2\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle+|dd\rangle)$ y $|T_3\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle-|dd\rangle)$ . Cambiemos de base con una matriz de similitud $P=(|T_3\rangle~|T_2\rangle~|T_1\rangle~|S\rangle)$ . En esta nueva base, $|S\rangle...|T_3\rangle$ son vectores base y

A = τ_{z} σ_{z, norte mi w b a s i s} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) ⨂ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

$A=\tau_z\sigma_{z,new basis} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

B = τ_{y} σ_{y, norte mi w b a s i s} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ⨂ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$B=\tau_y\sigma_{y,new basis} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Consideramos los nuevos vectores base como vectores de productos isomorfos a espines simples, cada uno de los cuales puede estar en estados etiquetados $|+\rangle$ y $|-\rangle$ (para no confundir con $|u\rangle$ y $|d\rangle$ ) y obtenemos que

| S ⟩ = | - - ⟩, | T_{1} ⟩ = | - + ⟩, | T_{2} ⟩ = | + - ⟩, | T_{3} ⟩ = | + + ⟩

$|S\rangle = |{--}\rangle,~~~~ |T_1\rangle = |{-+}\rangle,~~~~ |T_2\rangle = |{+-}\rangle,~~~~ |T_3\rangle = |{++}\rangle$

Desde $A$ y $B$ tienen la forma de operadores de productos, podemos dejar que definan una nueva subdivisión del sistema completo. Cada nuevo subsistema ya no corresponde a un electrón en una ubicación específica, como en la división original. Se puede pensar que A y B operan en una etiqueta cada uno (A en el primero + o -, B en el segundo).

Con esta nueva subdivisión, cada uno de $|S\rangle...|T_3\rangle$ no están enredados.

Para concluir

El enredo está en el ojo del espectador (operador 4x4 o división del subsistema). ¿Sí?

biofísico

Entonces, ¿está proponiendo expandir el estado arbitrario como una superposición de los estados singlete y triplete en lugar de los estados de 2 giros? Supongo que necesitaría algún dispositivo de medición que solo determine el estado de singlete / triplete sin medir ningún giro individual.

johndecker

Sí. Estoy seguro de que hay problemas prácticos en la construcción de equipos. Pero a un nivel abstracto, QM nos permite crear cualquier observable y definir operadores en su base de vectores propios. El entrelazamiento no es una propiedad intrínseca de un estado. El enredo generalmente se discute con los "subsistemas" que se eligen como dos giros que se eliminan físicamente, porque eso es lo que sucede en el interesante caso EPR/Bell. Estoy pensando: un estado es solo un estado, y si parece enredado o no depende de cómo interactúes con él (obsérvalo, opera sobre él).

biofísico

Entonces, para decirlo de manera un poco diferente, está proponiendo que debería ser posible tomar un estado en el que una superposición no tenga conjuntos de coeficientes cuyos cuadrados suman

1

$1$ , pero si tuviéramos que expresar el mismo estado como una superposición usando una base diferente, encontraríamos que existe una partición de los coeficientes tal que la suma de los cuadrados dentro de cada partición suma a

1

$1$ . Si esto es lo que dice, creo que tiene razón, pero esta no es mi área central de estudio. A ver si alguien con más experiencia en esto puede opinar.

johndecker

@AaronStevens, esencialmente sí. (Aunque no estoy seguro de llamar a las partes superposiciones; tal vez "subestados de factores".

biofísico

Pero eso es exactamente lo que son... son superposiciones. Al tomar un estado y expresarlo como una suma de otros estados, estamos literalmente formando una superposición. Eso es lo que es una superposición. No estoy llamando superposición a cada término de la superposición.

wcc

Tienes esta frase ..."entonces ni |S⟩ ni |T⟩ están entrelazados, sino estados puros". Parece implicar que un estado enredado no puede ser un estado puro. Esto está mal.

Emilio Pisanty

"Operador dependiente" es una terrible caracterización del contenido de esta pregunta. Recomiendo encarecidamente editar el título para dejar en claro que está preguntando sobre la partición del tensor y no solo sobre la libertad del "operador" (que no tiene sentido o no es lo que realmente está preguntando).

Emilio Pisanty

Además, tenga en cuenta las diferencias en el espaciado entre $|++\rangle$ y $|{++}\rangle$ (que se traducen como

| + + ⟩

$|++\rangle$ y

| + + ⟩

$|{++}\rangle$ , respectivamente). Este último es generalmente mejor. (La diferencia se debe a que $-$ y $+$ normalmente se interpretan como operadores binarios por LaTeX/MathJax, pero ese no es el caso aquí).

Respuestas (2)

¿El entrelazamiento *no* es intrínseco al estado, sino que depende de la división en subsistemas? (Susskind QM)

Entonces, ¿está proponiendo expandir el estado arbitrario como una superposición de los estados singlete y triplete en lugar de los estados de 2 giros? Supongo que necesitaría algún dispositivo de medición que solo determine el estado de singlete / triplete sin medir ningún giro individual.
Sí. Estoy seguro de que hay problemas prácticos en la construcción de equipos. Pero a un nivel abstracto, QM nos permite crear cualquier observable y definir operadores en su base de vectores propios. El entrelazamiento no es una propiedad intrínseca de un estado. El enredo generalmente se discute con los "subsistemas" que se eligen como dos giros que se eliminan físicamente, porque eso es lo que sucede en el interesante caso EPR/Bell. Estoy pensando: un estado es solo un estado, y si parece enredado o no depende de cómo interactúes con él (obsérvalo, opera sobre él).
Entonces, para decirlo de manera un poco diferente, está proponiendo que debería ser posible tomar un estado en el que una superposición no tenga conjuntos de coeficientes cuyos cuadrados suman $1$ , pero si tuviéramos que expresar el mismo estado como una superposición usando una base diferente, encontraríamos que existe una partición de los coeficientes tal que la suma de los cuadrados dentro de cada partición suma a $1$ . Si esto es lo que dice, creo que tiene razón, pero esta no es mi área central de estudio. A ver si alguien con más experiencia en esto puede opinar.
@AaronStevens, esencialmente sí. (Aunque no estoy seguro de llamar a las partes superposiciones; tal vez "subestados de factores".
Pero eso es exactamente lo que son... son superposiciones. Al tomar un estado y expresarlo como una suma de otros estados, estamos literalmente formando una superposición. Eso es lo que es una superposición. No estoy llamando superposición a cada término de la superposición.
Tienes esta frase ..."entonces ni |S⟩ ni |T⟩ están entrelazados, sino estados puros". Parece implicar que un estado enredado no puede ser un estado puro. Esto está mal.
"Operador dependiente" es una terrible caracterización del contenido de esta pregunta. Recomiendo encarecidamente editar el título para dejar en claro que está preguntando sobre la partición del tensor y no solo sobre la libertad del "operador" (que no tiene sentido o no es lo que realmente está preguntando).
Además, tenga en cuenta las diferencias en el espaciado entre $|++\rangle$ y $|{++}\rangle$ (que se traducen como $|++\rangle$ y $|{++}\rangle$ , respectivamente). Este último es generalmente mejor. (La diferencia se debe a que $-$ y $+$ normalmente se interpretan como operadores binarios por LaTeX/MathJax, pero ese no es el caso aquí).

parker · Answer 1

Creo que entiendo su pregunta, pero no entiendo en absoluto los comentarios de Aaron Stevens, que afirma ser una reformulación válida, por lo que es posible que en realidad no esté entendiendo su pregunta correctamente. Con esa salvedad:

Su idea básica es correcta, pero sus declaraciones no son lo suficientemente matemáticamente precisas para ser completamente correctas. (Por un lado, está usando las palabras "entrelazado" y "puro" como si fueran mutuamente excluyentes, pero no lo son; el estado de máximo entrelazamiento que describe es tanto entrelazado como puro). Sí, ya sea un estado tiene entrelazamiento interno, de hecho, depende de cómo se factoriza el espacio de Hilbert en subsistemas.

Pero te estás perdiendo un punto clave, que es que los espacios de Hilbert para un sistema compuesto son un producto tensorial de los espacios de Hilbert de los sistemas individuales, no una suma directa . El espacio de Hilbert $\mathcal{H}_{AB} = \{ |uu\rangle, |ud\rangle, |du\rangle, |dd\rangle \}$ para un sistema de dos espines es el producto tensorial $\mathcal{H}_{AB} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ , dónde $\mathcal{H}_A$ y $\mathcal{H}_B$ ambos son isomorfos al espacio de Hilbert $\{ u, d \}$ para un solo giro. Entonces podemos hablar de manera significativa sobre el operador que solo actúa en un subsistema. Pero el conjunto de combinaciones lineales de los $|S\rangle$ y $|T\rangle$ estados forman la suma directa $\{|S\rangle\} \oplus \{|T\rangle\}$ , por lo que no podemos pensar en el $|S\rangle$ y $|T\rangle$ estados como subsistemas sobre los que los operadores pueden actuar de forma independiente.

A veces, el espacio de Hilbert de un sistema compuesto se puede escribir como un producto tensorial de dos maneras no equivalentes. Esto realmente corresponde a dos formas válidas diferentes de dividir el sistema completo en subsistemas, y el hecho de que los subsistemas estén entrelazados o no puede depender de esa división. (Pero esto no es exactamente lo mismo que la dependencia de la base , porque resulta que el entrelazamiento es independiente de la base que uno elige para cada subsistema. Una vez que uno elige una división del sistema completo en subsistemas físicos, entonces cualquier cambio de base dentro de un subsistema no afectará el enredo.)

No podemos ver esto con su ejemplo de dos giros, pero podemos verlo si consideramos un sistema de tres giros $A$ , $B$ , y $C$ , cuyo espacio de Hilbert es $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C = \{ uuu, uud, udu, udd, duu, dud, ddu, ddd \}$ . Considere el estado

\frac{1}{\sqrt{2}} (| {tu}_{A} d_{B} ⟩ - | d_{A} {tu}_{B} ⟩) \otimes | {tu}_{C} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| tu d tu ⟩ - | d tu tu ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (|u_A d_B\rangle - |d_A u_B\rangle) \otimes |u_C\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|udu\rangle - |duu\rangle).$ En este estado, los espines A y B están enredados al máximo, pero el espín C no está enredado con ninguno de ellos. Una persona solo puede tener acceso experimental a los operadores que actúan sobre (a) los giros A y B o (b) el giro C. Esta persona, naturalmente, consideraría que los giros A y B juntos comprenden un solo subsistema, y el giro C comprende un subsistema separado. Por lo tanto, naturalmente factorizarían el espacio de Hilbert como

H = H_{A B} \otimes H_{C}

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{AB} \otimes \mathcal{H}_C$ , y decir que el estado no se enreda. No observarían ninguna correlación inusual entre giros en "subsistemas separados".

Pero alguien más podría tener acceso experimental a un conjunto diferente de operadores, que solo pueden actuar en (a) el giro A, o (b) los giros B y C. Esta segunda persona consideraría naturalmente que el giro A comprende un solo subsistema, y los giros B y C juntos comprenden un subsistema separado. Por lo tanto, naturalmente factorizarían el espacio de Hilbert como $\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ , y decir que el estado está enredado (de hecho, enredado al máximo). Observarían correlaciones perfectas entre (lo que describen como) "subsistemas separados" .

Pero nuevamente, una vez que especifica una factorización tensorial particular de su espacio de Hilbert en subsistemas fijos, entonces el enredo entre los subsistemas es independiente tanto de la base como del observador.

Me gusta la respuesta, pero me siento un poco incómodo con la afirmación de que los observadores tienen la libertad de factorizar el espacio de Hilbert... En su ejemplo, ¿qué impide que los observadores factoricen por completo para $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C$ ? ¿Puede proporcionar un ejemplo para el conjunto de observables que "obliga" al observador a concluir con $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ ?
@IamAStudent Creo que todo se reduce a lo que el observador puede medir. Si solo pueden medir cada giro por separado, entonces les convendría usar la factorización que ha sugerido. Si solo pueden medir A y B juntos o C solo, entonces la primera factorización sugerida en la respuesta es más útil.
tparker, no te preocupes por mis comentarios de la pregunta. Creo que su párrafo comienza con "A veces, el espacio de Hilbert de un sistema compuesto se puede escribir como un producto tensorial de dos maneras no equivalentes". es realmente a lo que estaba tratando de llegar, y creo que esta es la mejor parte que responde suficientemente a la pregunta del OP.
@IAmAStudent Gran pregunta. Hay una gran sutileza que barrí debajo de la alfombra en mi respuesta: solo estaba considerando el entrelazamiento bipartito dentro de los estados puros. También podríamos considerar el entrelazamiento multipartito o el entrelazamiento bipartito dentro de estados mixtos (que, gracias al teorema de la purificación, en realidad son conceptos matemáticamente equivalentes). En este caso, el concepto de enredo se vuelve mucho más complicado y sutil. El observador ciertamente es libre de factorizar aún más el espacio de Hilbert, pero no quería entrar en esa historia.
El comentario de @IAmAStudent Aaron Stevens debajo del suyo es exactamente correcto. Matemáticamente, eres libre de factorizar tu espacio de Hilbert de muchas maneras diferentes, que pueden diferir formalmente en si el estado está enredado. Pero la forma físicamente natural de hacerlo es agrupar subsistemas que es experimentalmente factible medir todos a la vez (sin perder la coherencia cuántica).
@tparker, tal vez a lo que me refiero es que, en última instancia, $\mathcal{H}_{BC} = \mathcal{H}_{B} \otimes \mathcal{H}_C$ . Si no es así, me gustaría saber un ejemplo, y cómo es posible expresar lo mismo $\mathcal{H}$ como $\mathcal{H}_A \otimes ( \mathcal{H}_{B} \otimes \mathcal{H}_C )$ y $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ , siendo matemáticamente distinto el espacio factorial del lado derecho.
@IAmAStudent Sí, tiene toda la razón en que los espacios de Hilbert $\mathcal{H}_{AB} \otimes \mathcal{H}_C = (\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B) \otimes \mathcal{H}_C$ y $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC} = \mathcal{H}_A \otimes (\mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C)$ son matemáticamente equivalentes: la diferencia entre dónde ponemos nuestros paréntesis es solo "en nuestras mentes". Si tiene un espacio de Hilbert "elemental" fundamental que sabe con certeza que no se puede factorizar, entonces, en principio, puede establecer sin ambigüedades si un estado está enredado sin especificar una factorización.
@IAmAStudent Pero el problema es que en física, nunca sabemos con certeza qué es realmente elemental: siempre podría haber un entrelazamiento interno a escalas más pequeñas de las que podemos acceder experimentalmente. Por lo tanto, es conceptualmente útil mentalizar sistemas compuestos de grano grueso y tratarlos como no factorizables, y hablar sobre el entrelazamiento entre los subsistemas de grano grueso sin preocuparse por su entrelazamiento interno . En este marco, si un estado está enredado puede depender de la resolución, lo que podría interpretarse como "dependiente del observador".
Gracias por tu excelente respuesta, @tparker. De hecho, estaba apuntando a una subdivisión diferente, no solo a una nueva base para la subdivisión existente. Actualicé por la sección de Preguntas .

Emilio Pisanty · Answer 2

El enredo está en el ojo del espectador (operador 4×4 o división del subsistema). ¿Sí?

Sí, pero esa es una observación bastante inútil.

La definición formal de un estado entrelazado de un sistema cuántico bipartito con espacio de estado $\mathcal H = \mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$ es como sigue:

un estado separable es aquel cuya matriz de densidad puede separarse como una suma de productos tensoriales de matrices de densidad individuales, es decir, si $\rho\in \mathcal B(\mathcal H)$ es la matriz de densidad del sistema, $\rho$ es separable si y solo si existen matrices de densidad $\rho_{A,i}\in \mathcal B(\mathcal H_A)$ y $\rho_{B,i}\in \mathcal B(\mathcal H_B)$ y pesos $p_i\geq 0$ tal que $ρ = \sum_{i} {pag}_{i} ρ_{A, i} \otimes ρ_{B, i} .$ $\rho = \sum_i p_i \rho_{A,i}\otimes \rho_{B,i}.$
un estado enredado es cualquier estado que no es separable.

Para mayor claridad, el entrelazamiento es una propiedad intrínseca del estado, junto con la partición del espacio de estado en factores tensoriales.

Si está dispuesto a volver a factorizar su espacio de estado total en alguna otra factorización de producto tensorial, entonces un estado que está enredado en el $A$ , $B$ esquema bipartito es de hecho susceptible de ser visto como separable en alguna alternativa $A'$ , $B'$ factorización.

Sin embargo, si puede volver a factorizar su espacio de estado total de esa manera, entonces eso le indica que su división inicial en partes no fue muy significativa para empezar. En escenarios del mundo real, usamos el entrelazamiento como un concepto relevante para los sistemas bipartitos donde la factorización del producto tensorial del espacio de estado (es decir, la división del sistema en las dos "partes" a las que se alude en "bipartito") se fija a partir de la contexto y no se puede cambiar fácilmente. Si ve que se usa en un contexto en el que ese no es el caso ( ejem ), entonces cualquier conclusión extraída del enredo se debilita correspondientemente.

Una forma útil de ver esto es notar que la teoría del entrelazamiento es, muy a menudo, mejor pensada como una teoría de recursos . Las teorías de recursos son excelentes formas de analizar situaciones en las que tiene una clase de operaciones que es fácil de implementar pero que podría ser insuficiente para lograr algún objetivo preespecificado. Otros buenos ejemplos son la termodinámica (donde las operaciones son procesos de conservación de energía y el recurso es la entropía) y la gaussianidad (donde las operaciones son operaciones ópticas lineales); en entrelazamiento, la clase de operaciones libres es la de Operaciones Locales y Comunicación Clásica, generalmente abreviada como LOCC, y obviamente está ligada estrictamente a una división del sistema en partes que pueden operar 'localmente' y que pueden comunicarse clásicamente.

Las teorías de recursos, por supuesto, solo son útiles cuando el recurso que describen es realmente valioso, y cuando sus operaciones restringidas son de hecho difíciles de implementar: así como el estudio de la termodinámica es bastante inútil si tiene una caja negra mágica que puede inyectar y elimine energía de cualquier parte de su sistema a su disposición, el estudio del enredo no tiene mucho sentido si tiene acceso gratuito a operaciones unitarias que no son LOCC que atraviesan la división A-to-B.

Eso no significa que no se pueda hablar de entrelazamiento en tal situación, como por ejemplo, los espines de dos electrones que están en estados ligados en el mismo átomo o molécula, pero si la refactorización es físicamente posible en algo como un sentido razonable, entonces las conclusiones que se derivan de la presencia del enredo serán correspondientemente trivializadas.

Pero lo que es más importante, si observa el uso en el mundo real, siempre tiene la forma

este sistema está entrelazado con ese sistema.

Bajo su refactorización, la primera parte de esa oración que pierde su significado no es "enredado", es "sistema".

(La respuesta a continuación aborda una interpretación específica de la v6 de la pregunta, que fue, francamente, mucho más interesante que la versión actual. La mantendré por eso).

Lo que proporciona Susskind se conoce como un testigo de enredo , y aquí obtienes una cierta cantidad de comportamiento de "ojo del espectador". Genéricamente, un testigo de enredo es un operador $A$ tal que su valor esperado en el estado $\rho$ , $\mathrm{Tr}(\rho A)$ , satisfará

T r (ρ A) \geq 0 \forall separable ρ,

$\mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0 \qquad \forall\text{ separable }\rho,$ de modo que

T r (ρ A) < 0 ⟹ ρ esta enredado .

$\mathrm{Tr}(\rho A) < 0 \implies \rho\text{ is entangled}.$ Sin embargo, la mayoría de los testigos de enredo son imperfectos: es decir, para cualquier testigo de enredo dado

A

$A$ , normalmente habrá estados enredados

ρ

$\rho$ para cual

T r (ρ A) \geq 0

$\mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0$ , de modo que

A

$A$ no puede detectar el enredo de ese estado enredado en particular.

Sin embargo, para cualquier estado enredado dado, siempre habrá al menos un testigo de enredo que pueda certificar que está enredado.

En otras palabras, la definición de enredo es independiente de los operadores utilizados para detectar su presencia, pero normalmente esos operadores tendrán un alcance limitado en el que pueden detectar los estados de enredo.

Y si eso hace que parezca que el enredo es un objeto difícil de detectar y caracterizar, entonces... sí, más o menos.

Creo, aunque no estoy seguro, que la libertad de factorizar el espacio de Hilbert de diferentes maneras (con diferentes evaluaciones resultantes de enredado frente a no para el mismo estado) fue el núcleo de la pregunta del OP.
@tparker Ese puede ser el caso, pero creo que la pregunta es demasiado confusa para decirlo con certeza. Como señalé, invocar esa libertad rompe por completo el aspecto bipartito del sistema y hace que cualquier conversación sobre el enredo carezca de sentido. Pero mi sensación es que tendremos que esperar a que Johndecker aclare explícitamente si eso era lo que quería decir.
Gracias, @EmilioPisanty por tu respuesta. Actualicé la sección Pregunta en mi pregunta para centrarme en la subdivisión del espacio de Hilbert.
Creo que todos estamos tratando de decir que el entrelazamiento se define en relación con una factorización del espacio. La pregunta no es tan confusa y simplemente pregunta si los estados inseparables se vuelven separables o no cuando cambias de base; la respuesta a eso es "sí".
@johndecker Su pregunta revisada no tiene sentido. Sus nuevos "partidos" no existen físicamente, y cualquier operación que realice cada nuevo "partido" deberá ser una operación conjunta y correlacionada por parte de A y B iniciales. (De hecho, las nuevas operaciones "locales" son puertas enredadas en el subdivisión inicial). En cierto sentido, la respuesta a su pregunta reformulada es un sí calificado: como ya se señaló en esta respuesta, el entrelazamiento solo se define en relación con una separación del espacio de estado total en factores de tensor.
Pero lo importante es que esa observación es bastante inútil. Si toma cualquier contexto donde el entrelazamiento es útil e intenta su truco de refactorización del tensor, encontrará que las nuevas "partes" representan operaciones que son demasiado complejas para ser útiles. Como ejemplo, si está utilizando el entrelazamiento para la teletransportación cuántica, la comunicación o la distribución de claves, sus nuevos "grupos" son operaciones conjuntas en los dos lugares iniciales y no hay forma de separarlos físicamente, por lo que ninguno de los protocolos clásicos tener sentido tampoco.
@EmilioPisanty, sí, el nuevo sistema es menos claro para visualizar físicamente y quizás complicado de implementar experimentalmente. Sin embargo, en la subdivisión inicial, si hablamos de giros en dos ubicaciones, implícitamente agregamos una tercera etiqueta, ubicación. Podríamos imaginar dos espines sin ubicación: ¿no unidos a electrones, o quizás unidos en un átomo? -- y luego creo que el tratamiento matemático y el cambio de base que propongo tienen sentido. Gracias por participar.
@DanielSank Nitpick: cuando cambia la factorización del tensor, no cuando cambia la "base". Una factorización tensorial de un espacio de Hilbert es un concepto completamente independiente de la base. Elegir tal factorización hace que ciertas bases sean más naturales para trabajar (bases cuyos vectores base son estados de producto con respecto a esa factorización), pero estrictamente hablando, la "factorización tensorial" y la "base" son conceptos completamente independientes.
@DanielSank Sin embargo, las personas difuminan esta distinción todo el tiempo en la práctica, por ejemplo, hablando de "entrelazamiento en la base de la posición" frente a "entrelazamiento en la base del impulso", por lo que su uso es totalmente aceptable en mi libro cuando hablo con expertos. Solo pensé que valía la pena señalarlo para las personas que todavía están aprendiendo.
No estoy de acuerdo con su afirmación de que siempre hay una forma abrumadoramente natural/útil de factorizar el espacio de Hilbert. Es cierto que una factorización del espacio real suele ser la más útil en la práctica, pero a veces la factorización "basada en partículas" es útil en su lugar; así es básicamente como funciona la "primera cuantificación". Considere una función de onda $\psi(x,y) = \phi_A(x) \phi_B(y)$ para dos partículas distinguibles $A$ y $B$ . ...
Tal función de onda es un estado de producto con respecto a la "base" de la partícula (consulte la advertencia anterior sobre por qué las comillas), pero está enredada en la posición "base", si mide $n = 0, 1, \text{ or } 2$ partículas en la mitad izquierda del sistema, entonces instantáneamente sabes que hay exactamente $2 - n$ partículas en la mitad derecha del sistema. No es tan emocionante como una violación de las desigualdades de Bell, pero aun así cuenta como un enredo. De hecho, las aproximaciones de Born-Oppenheimer y Hartree-Fock en DFT y química cuántica consisten en suponer que no hay entrelazamiento en la "base" de la partícula .
Además, recientemente ha habido algunas investigaciones teóricas convencionales sobre tomar el entrelazamiento basado en partículas tan en serio y cuantitativamente como lo ha sido el entrelazamiento espacial.
@tparker No afirmo que siempre haya una forma natural de factorizar un espacio de estado dado; como usted nota, tal afirmación es falsa. Mi único reclamo es un condicional: si la refactorización se puede hacer de forma natural, entonces las conclusiones extraídas del entrelazamiento se debilitan correspondientemente. Dicho esto, si no solo se le da "un sistema cuántico", sino que se le da "un sistema cuántico bipartito" (que es la configuración típica si una discusión sobre el entrelazamiento está sobre la mesa), entonces se implica una factorización natural. por el calificativo "bipartito".
Acordado. Discutiría con su TLDR de una oración en negrita "Sí, pero esa es una observación bastante inútil" como un resumen preciso de su respuesta completa, pero estoy totalmente de acuerdo con la versión completa.

¿El entrelazamiento *no* es intrínseco al estado, sino que depende de la división en subsistemas? (Susskind QM)

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