¿Cómo evaluar los operadores de espín en la segunda cuantización para los determinantes de Slater con simetría de espín rota?

Supongamos que tenemos el siguiente determinante de Slater:

| Ψ ⟩ = ∏ i , i ′ a i α + a i ′ β + | ⟩
dónde a i α + crea un electrón en estado i con giro α y en general, i ≠ i ′ . quiero evaluar ⟨ Ψ | S 2 | Ψ ⟩ utilizando la segunda cuantización. Podemos expresar la S 2 operador como
S 2 = S − S + + S z ( S z + 1 )
con
S − = ∑ pag a pag β + a pag α S + = ∑ pag a pag α + a pag β .
Desde | Ψ ⟩ es una función propia de S z , evaluando ⟨ Ψ | S z | Ψ ⟩ términos se vuelve trivial y el problema se reduce a la evaluación de ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ . En el método estándar restringido de Hartree-Fock, i = i ′ y es fácil demostrar que ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ = 0 utilizando las relaciones canónicas de anticonmutación. Cuando i ≠ i ′ (Hartree-Fock sin restricciones) debemos tener eso ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ = norte β − Tr ( PAG q ) (esto lo comprobé en libros) donde norte β es el numero de β electrones y PAG i j = ⟨ Ψ | a j α + a i α | Ψ ⟩ y q i j = ⟨ Ψ | a j β + a i β | Ψ ⟩ .

Mi pregunta es entonces, específicamente, ¿cómo obtenemos ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ = norte β − Tr ( PAG q ) usando las relaciones de anticonmutación de la segunda cuantización? Si trato de usar estas relaciones anticonmutación tal como están escritas en los libros de texto, no obtengo la respuesta correcta. Claramente, estoy haciendo algo mal o se debe tener en cuenta alguna consideración especial cuando i ≠ i ′ . Si alguien puede mostrarme cómo usar correctamente la segunda cuantización para obtener la respuesta correcta aquí, se lo agradecería mucho.

Respuestas (1)

No tengo suficiente reputación para publicar esto como un comentario, que debería ser.

¿No debería el producto en su definición de | Ψ ⟩ superalo i , i ′ ? ¿Está restringido a i > i ′ ? ¿Hay alguna restricción que α ≠ β ?

¿Podría proporcionar detalles de la solución que ha probado hasta ahora?

EDITAR

Como dices en tu comentario,

S − S + = a pag β † a pag α a q α † a q β .

anticonmutar el a pag β † a través de a pag α a q α † .

S − S + = a pag α a q α † a pag β † a q β .

Ahora anticonmutación a q α † a través de a pag α , pero no olvides la posibilidad de que pag = q .

S − S + = ( d q pag − a q α † a pag α ) a pag β † a q β ,
y tienes,
S − S + = a pag β † a pag β − a q α † a pag α a pag β † a q β .

Y tu estas listo.

Sí, la suma ha terminado. i , i ′ (Edité para reflejar eso). queremos el β estados diferentes a los α estados causan de otra manera el Ψ sería una función propia de S 2 . Podemos tener norte α ≠ norte β pero si alguien puede mostrarme cómo resolver esto para el caso norte α = norte β eso está bien. Lo que intenté es solo evaluar los términos (suma sobre índices implícitos) S − S + = a pag β + a pag α a q α + a q β = PAG pag q q pag q que produce sólo el Tr( PAG q ) parte, así que debo estar haciendo algo mal.
lo siento, arruiné la última parte de mi último comentario y no puedo volver a editarlo. Si uso el anticonmutador { a pag α + , a q α } = PAG q pag yo obtengo a pag β + a pag α a q α + a q β = 0 .
+1. Respuesta útil. Me queda una pregunta: en la tercera ecuación anterior, ¿por qué podemos escribir d q pag en vez de PAG q pag ? Sé que hay una base en la que PAG q pag = d q pag pero entonces si usa esta base para evaluar a q α + a pag α a pag β + a q β , ¿no obtendríamos simplemente d q pag ? Creo que la razón aquí es que los estados alfa y beta son diferentes, por lo que no podemos diagonalizarlos simultáneamente, tengo razón o es por otra razón.
La tercera línea usa solo la definición del anticonmutador, { a pag α , a q α † } = d q pag . Esto nos permite reemplazar a pag α a q α † por d pag q − a q α † a pag α .
¿Cómo evaluar los operadores de espín en la segunda cuantización para los determinantes de Slater con simetría de espín rota?
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