El anticonmutador de generadores SU(N)SU(N)SU(N)

De hecho, el anticonmutador

$$S^{AB}\equiv \{T^A,T^B\}$$ no está en el álgebra de Lie, sino, más bien, en el álgebra envolvente universal (formada por sumas de productos de generadores); y, como apreciaste en tu respuesta, solo para la representación fundamental está en el espacio que involucra la identidad y el álgebra de Lie, a fuerza de la completitud de ellos en la expansión$N\times N$matrices.

En general, para otras representaciones, te desbordas de ese espacio.
Y, de hecho, como puede ver trivialmente para matrices SU(2) spin-1 3×3, los anticonmutadores superan el espacio 4-d de la identidad con los 3 generadores.

En su respuesta, descompuso correctamente todos los anticonmutadores en proyecciones sobre la identidad, el espacio del álgebra de Lie y el resto del espacio ortogonal del álgebra de Lie universal M . En la práctica, sin embargo, M afortunadamente se las arregla para ser proyectado fuera de todas las cantidades significativas, como la traza de trilineales que representas por$d_{ABC}$, modificado a continuación.

Sin embargo, estos objetos tienen propiedades notablemente simples, como intuiste en tu respuesta, aunque no está claro que hayas apreciado la sistemática de la misma. El punto es que estos coeficientes d definidos por la traza del trilineal varían con la representación (p. ej., desaparecen para representaciones reales como el adjunto), pero todos son proporcionales al$d_{ABC}$de la representación fundamental !

Es decir que el$d_{ABC}$de la fundamental lega su estructura tensorial a todas las demás repeticiones, ya que están construidas a partir de la fundamental (ver más abajo). (De hecho, aparece en la definición de la invariante cúbica de Casimiro de todos los SU( N )s para N >2. Por supuesto, desaparece para SU(2).) Hay más propiedades que puede encontrar en DB Lichtenberg de 1970 Simetría Unitaria y Partículas Elementales , Capítulo 6.2.

Para una representación dada R de los generadores$T^A_R$, normalizar como es estándar en HEP,

$$\mathrm{Tr} (T^A_R T^B_R)= T(R) \delta^{AB},$$ donde el índice de la representación T(R) , es por ejemplo para la fundamental y la adjunta de SU(N),$T(F)=1/2,~~ T(A)=N$.

La traza de la trilineal es

$$A(R) d_{ABC}=2\mathrm{Tr} (T^A_R S_R^{BC})=2\mathrm{Tr} (T^A_R \{T^B_R,T^C_R \} ),$$ donde el coeficiente de anomalía A(R) se normaliza de tal manera que, por supuesto, A(F)=1 , ya que los coeficientes d se definen en lo fundamental, como en la declaración de su pregunta.

A partir de la trilinealidad del argumento de la traza, puede ver inmediatamente que$A(R)=-A(\bar{R})$, por lo que A = 0 para cualquier representación real como el adjunto (o, en el caso de SU(2), ¡también la fundamental, ya que es pseudoreal!) Además, puede ver a partir de las propiedades de la traza que

$$A(R_1\oplus R_2)= A(R_1)+A(R_2).$$ Lo bueno viene con el producto Kronecker, el coproducto de dos repeticiones, $$A(R_1\otimes R_2)= A(R_1)d(R_2)+ d(R_1)A(R_2) , \tag{*}$$ lo que asegura la agradable propiedad mencionada en la traza de la trilineal. d(R) es la dimensión de la representación involucrada.

Para ser más explícito, el coproducto es (el homomorfismo de anillos)

$$T^A_{R_1\otimes R_2}=T^A_{R_1}\otimes 1\!\!1_{R_2}+1\!\!1_{R_2}\otimes T^A_{R_2},$$ lo cual satisface el álgebra de Lie, muy bien; aunque el anticonmutador, en marcado contraste con el conmutador, tiene travesaños adicionales (no es primitivo, en matemático): $$S^{AB}_{R_1\otimes R_2}=S^{AB}_{R_1}\otimes 1\!\!1_{R_2} + 1\!\!1_{R_1} \otimes S^{AB}_{R_2} + 2(T^A_{R_1}\otimes T^B_{R_2}+ T^B_{R_1}\otimes T^A_{R_2} ).$$

Sin embargo, tenga en cuenta que, insertados en la traza, estos molestos términos cruzados se proyectan, simplemente en virtud de la propiedad fundamental de la traza, que la traza de un producto tensorial es el producto de las huellas de los factores tensoriales. Como consecuencia, los términos cruzados, cuando se multiplican por el coproducto del generador, siempre producirán términos que contienen un factor tensorial de solo una potencia del generador en alguna parte, ya sea$R_1$o$R_2$, ¡y así será proyectado por la falta de rastro de una sola potencia del generador! Esto, entonces, asegura que la traza de la anomalía sea siempre proporcional a$d_{ABC}$, con los coeficientes de anomalía combinándose a través de la relación anterior (*). (Los matemáticos llaman a esta proyección una consecuencia del teorema de Friedrich, pero no importa).

Todas las representaciones se pueden alcanzar a través de la tensorización de la fundamental, por lo que sus coeficientes de anomalía se pueden calcular de forma recursiva, en principio. (Y, por supuesto, algunos desaparecen, para los reales).

Finalmente, para la descomposición que postula correctamente en la forma, la consistencia con el trazo anterior (trazado o multiplicado por una T y trazo) dicta, en cambio,

$$S^{AB}_R= \frac{2T(R)}{d(R)}\delta^{AB} 1\!\!1_{d(R)} + \frac{A(R)}{2T(R)} d_{ABC}T^C_R +M^{AB}_R~.$$

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Si desea investigar la combinación de conmutadores con anticonmutadores y la devolución de los coeficientes d a representaciones más altas, puede utilizar, más allá de la identidad de Jacobi,

$$[[A,B],C]+ [[B,C],A]+[[C,A],B] =0,$$ una plétora de sus análogos mixtos, $$[\{A,B\},C]+ [\{B,C\},A]+[\{C,A\},B] =0,\\ [\{A,B\},C]+ \{[C,B],A\}+\{[C,A],B\} =0,$$ etc.

Muchas de las relaciones fundamentales se obtienen considerando$K^A\equiv d_{ABC}T^BT^C=d_{ABC}S^{BC}$, que, aunque no es primitivo, sin embargo se transforma simplemente,$[K^A,T^B]=if_{ABC}K^C$. Puede demostrarse, como antes, que esta relación se cumple para todas las representaciones, donde, sin embargo, la d en su definición sigue siendo la de la fundamental. Así, por arriba,$\mathrm{Tr}(T_R^A K_R^B)=A(R)(N^2/4-1)~\delta^{AB}/N$, etcétera.

Para una representación general$t^{A}$de los generadores de$SU(N)$es posible deducir la siguiente forma del anticonmutador

$$\{t^{A},t^{B}\} = \frac{2N}{d}\delta^{AB}\cdot 1_{d} + d_{ABC}t^{C} + M^{AB}$$ dónde $$\mathrm{Tr}[t^{A}t^{B}] = N\delta_{AB}\\ d_{ABC} = \frac{1}{N}\mathrm{Tr}[\{t^{A},t^{B}\}t^{C}]$$ y el objeto $M^{AB}$cumple una serie de propiedades $$\mathrm{Tr}[M^{AB}] = 0,\quad M^{AA}=0,\quad \mathrm{Tr}[M^{AB}t^{C}] = 0,\quad M^{AB} = M^{BA}, \quad (M^{AB})^{\dagger} = M^{AB}$$ La penúltima propiedad expresa la ortogonalidad de $M^{AB}$a los generadores $t^{A}$mostrando que no está contenido en el álgebra. En el caso de la representación fundamental $M^{AB}=0$ya que los grados de libertad se han agotado (o alternativamente, los generadores y la identidad abarcan el espacio completo de las matrices hermitianas).

En el caso de las representaciones adjuntas de$SU(2)$y$SU(3)$Realicé un cálculo explícito de$M^{AB}$, verificando las propiedades anteriores.

No estoy seguro de lo que estás preguntando. Para cada matriz d-dimensional antisimétrica$T$puede extraer la parte traza y, por lo tanto, tener

$$T=\frac{I}{d}\cdot tr{T}+(T-tr{T}).$$ Puede verificar que el primer término es realmente la parte del rastro y el segundo término no tiene rastro. Así que en tu ecuación, es simplemente una definición de $d_{ABC}$. Tenga en cuenta que $tr{{T^{AB}}}=2C\delta^{AB}$en tu ecuación. De manera más general, para cualquier matriz T d-dimensional, puede tener $$T=\frac{1}{2}({T+T^{T}})+\frac{I}{d}\cdot tr\left({\frac{1}{2}(T-T^T)}\right)+\left(\frac{1}{2}(T-T^T)-\frac{I}{d}\cdot tr\left({\frac{1}{2}(T-T^T)}\right)\right)$$ con la simétrica, la huella y las partes antisimétricas sin huella correspondientemente.