¿Por qué no existe una función de onda para un fotón mientras que existe para un electrón?

Decir que un fotón no tiene una función de onda puede ser engañoso. Una forma más precisa de decirlo es que un fotón no tiene una posición estrictamente observable . Un fotón no se puede localizar estrictamente en ninguna región finita del espacio. Puede estar aproximadamente localizado, de modo que también podría estar restringido a una región finita para todos los propósitos prácticos; pero el lenguaje "no tiene una función de onda" se refiere a la inexistencia de una posición estricta observable.

Un electrón tampoco tiene una posición estrictamente observable, excepto en modelos estrictamente no relativistas.

En la teoría cuántica relativista de campos, nada tiene una posición estricta observable. Esta es una consecuencia de un teorema general llamado teorema de Reeh-Schlieder . La demostración de este teorema no es trivial, pero está muy bien explicada en [1].

La teoría relativista de campos cuánticos no tiene observables estrictos de posición de una sola partícula, pero sí tiene otros tipos de observables estrictamente localizados, como los observables correspondientes a la magnitud y dirección de los campos eléctricos y magnéticos dentro de una región del espacio arbitrariamente pequeña. Sin embargo, esos observables no conservan el número de partículas. Los observables estrictamente localizados necesariamente convierten los estados de una sola partícula en estados con un número indefinido de partículas. (En realidad, incluso ignorando la cuestión de la localización, "partícula" no es fácil de definir en la teoría relativista de campos cuánticos, pero no entraré en eso aquí).

Por ejemplo, la electrodinámica cuántica relativista (QED) tiene observables correspondientes a las amplitudes de los campos eléctrico y magnético. Estos operadores de campo se pueden localizar. Los operadores de creación/aniquilación de partículas se pueden expresar en términos de operadores de campo y viceversa, pero la relación no es local .

Técnicamente, el teorema de Reeh-Schlieder dice que una teoría del campo cuántico relativista no puede tener ningún operador estrictamente localizado que aniquile el estado de vacío. Por lo tanto, no puede tener ningún operador estrictamente localizado que cuente el número de partículas. (El estado de vacío tiene cero partículas, por lo que un operador de conteo de partículas estrictamente localizado aniquilaría el estado de vacío, lo cual es imposible de acuerdo con el teorema de Reeh-Schlieder).

Los modelos estrictamente no relativistas están exentos de este teorema. Para explicar qué significa "estrictamente no relativista", considere la relación relativista entre la energía$E$y el impulso$p$, a saber$E=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}$, dónde$m$es la masa de una sola partícula. Si$p\ll mc$, entonces podemos usar la aproximación$E\approx mc^2+p^2/2m$. Un modelo no relativista es aquel que trata esta relación aproximada como si fuera exacta . La ecuación de Schrödinger de una sola partícula más familiar es un modelo de este tipo. Dicho modelo tiene un operador de posición estricto, y las partículas individuales pueden localizarse estrictamente en una región finita del espacio en dicho modelo.

Dado que los fotones son sin masa ($m=0$), no podemos usar un modelo no relativista para los fotones. Podemos usar un modelo híbrido, como QED no relativista (llamado NRQED), que incluye fotones pero trata a los electrones de manera no relativista. Pero incluso en ese modelo híbrido, los fotones aún no pueden localizarse estrictamente en ninguna región finita del espacio. En términos generales, los fotones siguen siendo relativistas aunque los electrones no lo sean. Entonces, en NRQED, podemos (y lo hacemos) tener una posición de un solo electrón observable, pero aún no tenemos una posición de un solo fotón observable.

"Función de onda" es un concepto más general que aún se aplica incluso cuando no existen observables de posición estrictos. El tipo de "función de onda" que se utiliza en la teoría cuántica relativista de campos es muy diferente de la función de onda de una sola partícula.$\psi(x,y,z)$familiar de la mecánica cuántica estrictamente no relativista. En el caso relativista, la función de onda no es una función de$x,y,z$. En cambio, es una función de variables más abstractas, y muchas de ellas (nominalmente infinitas), y describe el estado de todo el sistema , que generalmente ni siquiera tiene un número bien definido de partículas. La gente no usa este tipo de función de onda con mucha frecuencia, porque es muy difícil, pero de vez en cuando se usa. Por ejemplo, Feynman usó este tipo de "función de onda" en [2] para estudiar una teoría relativista del campo cuántico llamada teoría de Yang-Mills, que es una versión simplificada de la cromodinámica cuántica que tiene gluones pero no quarks.

En este sentido generalizado, un solo fotón puede tener una función de onda.

En el caso no relativista, la$x,y,z$en$\psi(x,y,z)$corresponden a los componentes de los observables de posición de la partícula. Cuando los físicos dicen que un fotón no tiene una función de onda, quieren decir que no tiene una función de onda que sea una función de los valores propios de los observables de posición, y eso se debe a que no tiene observables de posición estrictos.

También vea estas preguntas muy similares:

¿Podemos definir una función de onda de un fotón como una función de onda de un electrón?

¿Función de onda de un fotón?

Función de onda EM y función de onda de fotones

Referencias:

[1] Witten, "Notas sobre algunas propiedades de entrelazamiento de la teoría cuántica de campos", http://arxiv.org/abs/1803.04993

[2] Feynman (1981), "El comportamiento cualitativo de la teoría de Yang-Mills en 2 + 1 dimensiones", Física nuclear B 188: 479-512, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321381900055

Aquí está la función de onda del fotón, que es una solución de la ecuación de Maxwell cuantificada:

En la teoría cuántica de campos es necesario tener una solución de función de onda plana para los campos en los que operan los operadores de creación y aniquilación.

Esta publicación de blog describe cómo los campos clásicos emergen de los campos cuánticos de QFT.