Entropía de von Neumann de mezclas de estados coherentes

Estoy tratando de calcular la entropía de Von Neumann de mezclas estadísticas de estados coherentes. El problema es que tales estados son en general no gaussianos, por lo que no se puede seguir el formalismo desarrollado aquí: Phys. Rev.A 59, 1820 (1999) . ¿Alguien tiene alguna pista sobre cómo calcular el

T r [ ρ registro ⁡ [ ρ ] ] ,
para
ρ = ∑ i pag i | α i ⟩ ⟨ α i |   ?

¿Puedes decir más sobre el pag i ? Por supuesto, el caso de dos guassianos se puede calcular exactamente en términos de la superposición ⟨ α 1 | α 2 ⟩ ; simplemente muévase al subespacio 2-dim abarcado por los vectores. Asimismo, para un número finito de gaussianas, la respuesta se puede calcular con la matriz de Gram . (Dado que los productos internos por pares no están muy restringidos por la condición de gaussianidad, dudo que la respuesta simplifique mucho del caso no gaussiano). Para una distribución continua pag ( α ) , ¿no podrían las cosas ser arbitrariamente complicadas?
Yo pense acerca de pag i siendo simplemente probabilidades clásicas. Son números reales y sus cuadrados suman uno. Sí en un caso continuo siempre y cuando pag ( α ) no conduce al estado gaussiano, dudo que haya algo general. Pero, ¿podría explicar más en detalle sobre solo dos términos en la suma? Trato de calcular el logaritmo por la fórmula. registro ⁡ [ ρ ] = ∑ norte ρ norte / norte ! y las cosas se complican bastante rápido.
Construir una base ortonormal de 2 dim | + ⟩ , | − ⟩ que abarca el mismo subespacio que | α 1 ⟩ , | α 2 ⟩ . Volver a escribir ρ en esta base como una matriz de 2x2, que se puede diagonalizar, dando el espectro de ρ . La entropía es una función del espectro.
Probablemente haya algún malentendido. Por | α ⟩ Me refiero a un estado coherente de un oscilador armónico cuántico ( en.wikipedia.org/wiki/Coherent_states ), que en la base de Fock es | α ⟩ = a ∑ norte ( α norte / norte ! ) | norte ⟩ (a-constante de normalización) y su espacio de Hilbert es por lo tanto infinitedimensional.
Sí, lo sé. El espacio de Hilbert completo es de dimensión infinita pero, si solo se le dan dos vectores de dicho espacio de Hilbert, abarcan solo un único subespacio bidimensional. La matriz de densidad, cuando se considera como un operador, actúa de manera no trivial solo en ese subespacio. (Es cero en el subespacio ortogonal). Pregunta a tu asesor :)
¿ Quizás puedas dar un ejemplo específico ? Esto probablemente facilitaría su explicación. (Idealmente solo con dos no cero pag i ;-) Por cierto, un poco de una discusión relacionada (comprimir estados coherentes en un espacio de dimensión finita está en physics.stackexchange.com/a/208576/4888 .
"Von Neumann" debería ser "von Neumann"

Respuestas (1)

Parece que he descubierto una respuesta para 2 términos en el estado original. Supongamos que el estado es

ρ = a | α ⟩ ⟨ α | + ( 1 − a ) | β ⟩ ⟨ β |

Necesitamos construir una base ortonormal, en la que este sistema actuará como un sistema de 2 niveles. Una de las variantes es

| + ⟩ = | α ⟩ ; | − ⟩ = | β ⟩ − k | α ⟩ 1 − k 2 ,
dónde k = ⟨ α | β ⟩ . Los elementos de la nueva matriz de densidad ρ ± son
ρ 11 = ⟨ + | ρ | + ⟩ ; ρ 12 = ⟨ + | ρ | − ⟩ ; ρ 21 = ⟨ − | ρ | + ⟩ ; ρ 22 = ⟨ − | ρ | − ⟩ ;
Y así es:
ρ ± = ( a + ( 1 − a ) | k | 2 k ( 1 − a ) ( 1 − | k | 2 ) 1 − k 2 k ∗ ( 1 − a ) ( 1 − | k | 2 ) 1 − k ∗ 2 ( 1 − a ) ( 1 − | k | 2 ) ) .

Ahora es posible calcular la entropía. Cuando | α ⟩ y | β ⟩ tienen la misma fase, la dependencia de la entropía en el parámetro a y separación entre estados d , ⟨ α | β ⟩ = Exp ⁡ ( − d 2 ) Se ve como esto:

entropía

Parece razonable ya que es cero en la separación cero, ya que el estado es puro y también va a 0 cuando a = 1 o 0 .

Editar: Gracias a Jess Riedel por las instrucciones.

Sus estados básicos no están normalizados correctamente, por lo que es probable que el resultado sea incorrecto. (De hecho, dependiendo de la elección de fase de | α ⟩ y | β ⟩ , ni siquiera son ortogonales.)
Gracias por señalar el error. Corregido eso y editado la publicación.
Buen post. Entonces, la lección aquí es básicamente que, aunque la base completa de los estados coherentes es demasiado completa, para un conjunto dado se puede construir una base ortonormal mediante el procedimiento habitual de Gram-Schmidt y luego calcular las cosas normalmente. ¿Es eso correcto?
@Rococo: De hecho, para un conjunto discreto, siempre puede usar los procedimientos habituales de Gram-Schmidt. Pero, cuando el problema es bien simétrico, existen otras bases que facilitan la solución. Aquí, por ejemplo, usaría la base hecha de los estados (normalizados) | α ⟩ ± | β ⟩
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