Efecto Doppler relativista sobre rayos gamma

Question

Efecto Doppler relativista sobre rayos gamma

Luis

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Un par electrón-positrón se aniquila, creando dos fotones. ¿A qué velocidad debe moverse un observador a lo largo de la línea de los fotones para que la longitud de onda de un fotón sea el doble que la del otro?

Hasta ahora, he encontrado usando $E=m_0c^2$ que la energía de cada fotón es de 511 keV, y usando $E = \frac{hc}{\lambda}$ que la longitud de onda correspondiente es $\lambda = 2.429\cdot10^{-12}$ metro.

La longitud de onda observada para el fotón que se acerca al observador viene dada por la fórmula Doppler relativista: $\lambda_o = \lambda_s \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$ dónde $\beta = \frac{v^2}{c^2}$ . Lo que no entiendo es cómo calcular la longitud de onda del fotón que se propaga lejos del observador.

Me parece que sería imposible incluso observar un fotón alejándose de ti... Además, dado que los dos fotones se emiten desde la misma fuente, y la velocidad de un fotón en relación con el observador siempre es $c$ en todos los IRF, ¿no deberían ambos fotones experimentar el mismo corrimiento al rojo/al azul de todos modos?

Gracias,

--hlouis

Editar: gracias al Sr. dmckee, pude resolver el problema. Si el observador lleva un palo largo con detectores en ambos extremos, y la emisión de ambos fotones ocurre cuando ambos extremos están en lados opuestos de la fuente, entonces un detector se está alejando de la fuente, mientras que el otro se está moviendo hacia ella. Entonces la respuesta es la velocidad necesaria para bajar la longitud de onda un 25% para un detector y un 25% para el otro.

kyle kanos

¿Qué pasa con el cambio de azul?

Luis

el problema es que el corrimiento al rojo/desplazamiento al azul dependen de la velocidad relativa a la fuente, y te dan la frecuencia observada de la luz que viene de la fuente hacia el observador. Lo que no entiendo es cómo calcularlo sobre la luz que se propaga lejos del observador.

dmckee --- gatito ex-moderador

Si un estudiante en mi clase de física moderna hiciera estas preguntas (que no son irrazonables), diría algo como "Puedes suponer que el observador en movimiento lleva un palo muy largo con un detector sensible en cada extremo (para mantener el equilibrio, naturalmente) y que el el decaimiento ocurre cuando el observador pasa de tal manera que un fotón aterriza en cada detector". Si una pizarra blanca estuviera a mano, procedería a hacer un dibujo, porque el trabajo de boceto realmente rápido es parte de mi truco para entretener en clase. El truco aquí es pensar como un experimentador.

usuario10851

Si comprende la respuesta, debe escribirla como una respuesta adecuada en lugar de dejarla como un anexo a la pregunta. Tampoco es necesario mostrar todos los detalles, solo bastarán los conceptos.

Brandon Enright

Hola, @hlouis, si resolvió su problema, debe publicar su solución como respuesta. Responder a tu propia pregunta está perfectamente bien.

Respuestas (1)

Efecto Doppler relativista sobre rayos gamma

el problema es que el corrimiento al rojo/desplazamiento al azul dependen de la velocidad relativa a la fuente, y te dan la frecuencia observada de la luz que viene de la fuente hacia el observador. Lo que no entiendo es cómo calcularlo sobre la luz que se propaga lejos del observador.
Si un estudiante en mi clase de física moderna hiciera estas preguntas (que no son irrazonables), diría algo como "Puedes suponer que el observador en movimiento lleva un palo muy largo con un detector sensible en cada extremo (para mantener el equilibrio, naturalmente) y que el el decaimiento ocurre cuando el observador pasa de tal manera que un fotón aterriza en cada detector". Si una pizarra blanca estuviera a mano, procedería a hacer un dibujo, porque el trabajo de boceto realmente rápido es parte de mi truco para entretener en clase. El truco aquí es pensar como un experimentador.
Si comprende la respuesta, debe escribirla como una respuesta adecuada en lugar de dejarla como un anexo a la pregunta. Tampoco es necesario mostrar todos los detalles, solo bastarán los conceptos.
Hola, @hlouis, si resolvió su problema, debe publicar su solución como respuesta. Responder a tu propia pregunta está perfectamente bien.

usuario12262 · Answer 1

[Nota: dado que la declaración de la pregunta, incluida la reciente " Editar " después de los comentarios, ya describe en general cómo obtener la solución, mi siguiente respuesta se limita en gran medida a señalar algunos errores restantes; al menos a menos que se solicite lo contrario.]

La longitud de onda observada para el fotón que viene hacia el observador.

... más específicamente: hacia un detector cuyo movimiento wrt. la fuente se cuantifica por el número real $\beta$ ; con $\beta > 0$ para el movimiento del detector y la fuente "hacia" uno al otro, y $\beta < 0$ para el movimiento del detector y la fuente "lejos" uno del otro...

entonces viene dada por la fórmula relativista [Doppler]: $\lambda_o = \lambda_s \sqrt{ \frac{1 + \beta}{1 - \beta} }$

... Sí; pero: ...

dónde $\beta = \frac{v^2}{c^2}$

... No. Más bien con $\beta = \sqrt{\frac{v^2}{c^2}}$ ; o claramente $\beta = \frac{v}{c}$ , si $v$ se entiende apropiadamente como "velocidad" del detector y fuente wrt. entre sí.

Editar: [...] un poste largo con detectores en ambos extremos, y la emisión de fotones ocurre cuando ambos extremos están en lados opuestos de la fuente, luego un detector se aleja de la fuente, mientras que el otro se mueve hacia ella.

¿A qué velocidad debe moverse un observador a lo largo de la línea de los fotones?

... o adaptado a la " Edición ":
¿A qué velocidad debe moverse el poste con los dos detectores en línea ("línea de visión") con la fuente ...

para que la longitud de onda de un fotón sea el doble de la del otro?

Entonces, dada la fórmula anterior, la tarea matemática restante es resolver

$2 = \lambda_{\text{towards}} / \lambda_{\text{away}} = \left(\lambda_s \sqrt{ \frac{1 + \beta}{1 - \beta} } \right) / \left(\lambda_s \sqrt{ \frac{1 - \beta}{1 + \beta} } \right) = \left( \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \right)$

para $\beta$ .

El resultado es por supuesto:
$\beta = 1/3$ , es decir $v = c/3$ (refiriéndose al detector y la fuente moviéndose uno hacia el otro).

Entonces la respuesta es la velocidad necesaria para bajar la longitud de onda un 25% para un detector y un 25% para el otro.

No: desde
$\sqrt{ \frac{1 - 1/3}{1 + 1/3} } = \sqrt{ \frac{2/3}{4/3} } = \sqrt{1/2}$
y correspondientemente
$\sqrt{ \frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} } = \sqrt{ \frac{4/3}{2/3} } = \sqrt{2}$ ,
los " cambios " involucrados son más bien:

"bajó un 29,289... %" y "subió un 41,42... %", respectivamente.

Efecto Doppler relativista sobre rayos gamma

Luis

kyle kanos

Luis

dmckee --- gatito ex-moderador

usuario10851

Brandon Enright

Respuestas (1)

usuario12262

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