Derivación del efecto de radiación/aberración relativista

Estoy investigando aplicaciones de transmisión relativista y quiero derivar una fórmula para el efecto de aberración, pero estoy atascado (me equivoco por un factor de 1/c). Esto es lo que tengo:

Considere una estrella en su marco de reposo, S ′ , moviéndose a velocidad v que emite un fotón en un ángulo θ ′ . En el S marco, el observador mide el ángulo a ser θ . Hice una imagen a continuación para ilustrar esto

ingrese la descripción de la imagen aquí

Tenemos de la imagen las identidades. porque ⁡ ( θ ) = X C t y porque ⁡ ( θ ′ ) = X ′ C t ′ . Las transformaciones de Lorentz del sistema de coordenadas primas son las siguientes:

X ′ = X − v t ( 1 − β 2 ) = t porque ⁡ ( θ ) − β ( 1 − β 2 )

y ′ = y

t ′ = t − v X C 2 ( 1 − β 2 ) = t 1 − β porque ⁡ ( θ ) ( 1 − β 2 )

Ahora,

porque ⁡ ( θ ′ ) = X ′ C t ′ = t porque ⁡ ( θ ) − β ( 1 − β 2 ) C t 1 − β porque ⁡ ( θ ) ( 1 − β 2 )

Después de simplificar obtenemos

porque ⁡ ( θ ′ ) = 1 / C porque ⁡ ( θ ) − β 1 − β porque ⁡ ( θ )

Que es casi la fórmula de la aberración relativista, pero de nuevo me equivoco C − 1 . ¿Alguien sabe lo que está mal con esta derivación?

Supongo que cerrarán esta pregunta como fuera de tema y mi respuesta también se eliminará, por lo que, por si acaso, la respuesta es que te has perdido una C en tu primera pregunta X = C t C o s θ .
¿Por qué se considera esto fuera de tema?
Todavía no se considera fuera de tema, solo supongo que lo será. Porque aunque ha mostrado algún esfuerzo para resolver su pregunta, "no está preguntando sobre un concepto físico" y "también está prohibido dar la solución completa a una pregunta como esta", varias respuestas mías fueron eliminadas así. Así que siempre revisa tu tema antes de que lo cierren.

Respuestas (1)

porque ⁡ ( θ ) = X C t → X = C t porque ⁡ ( θ )
C β = v
X ′ = X − v t 1 − β 2 = C t porque ⁡ ( θ ) − C β t 1 − β 2 = C t ( porque ⁡ ( θ ) − β 1 − β 2 )

Esta respuesta es genial muchas gracias!
@Paradoxy, ¿puede continuar con la derivación? Tienes un radical en tu denominador; sin embargo, hwhorf no lo hace. O bien, por favor explique la discrepancia.
@MichaelLevy tenga en cuenta que en el lado derecho de mi última ecuación, hay una "t". Si usa la transformación de tiempo de Lorentz para cambiarlo a "t'" ya no verá tal discrepancia.
@Paradoxy, la transformación t ′ = t − v X C 2 1 − β 2 , cuando se sustituye, no produce lo que se debe mostrar.
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