Ecuaciones del circuito diodo-resistencia-condensador

Question

Ecuaciones del circuito diodo-resistencia-condensador

Física
capacidad
electrónica
circuitos eléctricos
resistencia eléctrica
deberes-y-ejercicios

ben

Así que me tomé el tiempo para medir la dependencia actual del voltaje de un diodo que tengo. Le apliqué un ajuste exponencial y tengo una ecuación bastante confiable (dentro del 1%).

Estoy interesado en cómo un circuito en serie de diodo-resistencia-condensador responde a diferentes señales. Naturalmente, estoy comenzando solo con voltaje de CC.

La ecuación que tengo para la dependencia voltaje/corriente del diodo es de la forma

\begin{matrix} (1) & I = a {mi}^{b V_{D}} \end{matrix}

$I=ae^{bV_D} \tag{1}$

dónde $V_D$ es el voltaje a través del diodo.

Usando la ley de Kirchhoff, obtengo la siguiente ecuación diferencial con una condición inicial:

V = R q^{'} + \frac{1}{C} q + \frac{1}{b} en (\frac{q^{'}}{a})

$V = RQ' + \frac{1}c Q + \frac{1}b \ln\left(\frac{Q'}a\right)$

q (0) = 0

$Q(0)=0$

dónde $R$ es la resistencia de la resistencia, $c$ es la capacitancia del capacitor, $a$ y $b$ son las constantes de regresión exponencial de la ecuación (1), y $V$ es el voltaje de CC aplicado.

¿Alguien sabe si es posible resolver analíticamente esta ecuación?

el fotón

Si pone un capacitor en serie con cualquier cosa, entonces en CC la corriente será 0.

ben

Después de suficiente tiempo, sí, eso es correcto. Pero no inicialmente. Me interesa modelar lo que sucede en ese primer segundo. Presumiblemente, la corriente sigue un tipo de decaimiento exponencial.

el fotón

Cuando hablamos de analizar un circuito en CC, generalmente nos referimos a estado estacionario de CC. Si desea hablar sobre lo que sucede cuando se cambia el voltaje de entrada, generalmente lo llamamos análisis transitorio.

el fotón

AFAIK, no hay una solución analítica para este circuito. Sin embargo, hay docenas de diferentes programas de computadora disponibles que pueden proporcionar una solución numérica tan precisa como podría ser útil. LTSpice es uno gratuito bien conocido (como en la cerveza).

FGSUZ

Cualquier término no lineal suele ser un dolor en el cuello. Los diodos generalmente se linealizan debido a eso.

Respuestas (1)

Ecuaciones del circuito diodo-resistencia-condensador

Si pone un capacitor en serie con cualquier cosa, entonces en CC la corriente será 0.
Después de suficiente tiempo, sí, eso es correcto. Pero no inicialmente. Me interesa modelar lo que sucede en ese primer segundo. Presumiblemente, la corriente sigue un tipo de decaimiento exponencial.
Cuando hablamos de analizar un circuito en CC, generalmente nos referimos a estado estacionario de CC. Si desea hablar sobre lo que sucede cuando se cambia el voltaje de entrada, generalmente lo llamamos análisis transitorio.
AFAIK, no hay una solución analítica para este circuito. Sin embargo, hay docenas de diferentes programas de computadora disponibles que pueden proporcionar una solución numérica tan precisa como podría ser útil. LTSpice es uno gratuito bien conocido (como en la cerveza).
Cualquier término no lineal suele ser un dolor en el cuello. Los diodos generalmente se linealizan debido a eso.

Jan Eerland · Answer 1

Bueno, sabemos que:

\begin{matrix} (1) & V_{en} (t) = V_{D} (t) + V_{R} (t) + V_{C} (t) \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}\left(t\right)=\text{V}_\text{D}\left(t\right)+\text{V}_\text{R}\left(t\right)+\text{V}_\text{C}\left(t\right)\tag1$

Y también sabemos que:

$\begin{matrix} (2) & I_{D} (t) = I_{S} \cdot (Exp (\frac{ϵ \cdot V_{D} (t)}{η \cdot k \cdot T}) - 1) \end{matrix}$ $\text{I}_\text{D}\left(t\right)=\text{I}_\text{S}\cdot\left(\exp\left(\frac{\epsilon\cdot\text{V}_\text{D}\left(t\right)}{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}\right)-1\right)\tag2$

Dónde $\text{I}_\text{S}$ es la corriente de saturación inversa, $\epsilon$ es la carga electrónica, $\text{k}$ es la constante de Boltzmann y $\text{T}$ es la temperatura absoluta y $1\le\eta\le2$ .

$\begin{matrix} (3) & V_{R} (t) = I_{R} (t) \cdot R \end{matrix}$ $\text{V}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{R}\left(t\right)\cdot\text{R}\tag3$
$\begin{matrix} (4) & I_{C} (t) = V_{C}^{'} (t) \cdot C \end{matrix}$ $\text{I}_\text{C}\left(t\right)=\text{V}_\text{C}'\left(t\right)\cdot\text{C}\tag4$
$\begin{matrix} (5) & I_{en} (t) = I_{D} (t) = I_{R} (t) = I_{C} (t) \end{matrix}$ $\text{I}_\text{in}\left(t\right)=\text{I}_\text{D}\left(t\right)=\text{I}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{C}\left(t\right)\tag5$

Entonces, obtenemos:

\begin{matrix} (6) & V_{en}^{'} (t) = \frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{I_{en}^{'} (t)}{I_{S} + I_{en} (t)} + I_{en}^{'} (t) \cdot R + I_{en} (t) \cdot \frac{1}{C} \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}'\left(t\right)=\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{\text{I}_\text{in}'\left(t\right)}{\text{I}_\text{S}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)}+\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\text{R}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}\tag6$

Por ejemplo, cuando el voltaje de entrada es constante obtenemos:

\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{I_{en}^{'} (t)}{I_{S} + I_{en} (t)} + I_{en}^{'} (t) \cdot R + I_{en} (t) \cdot \frac{1}{C} = 0 ⟺

$\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{\text{I}_\text{in}'\left(t\right)}{\text{I}_\text{S}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)}+\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\text{R}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}=0\space\Longleftrightarrow$

\begin{matrix} (6) & \int I_{en}^{'} (t) \cdot \frac{\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{1}{I_{S} + I_{en} (t)} + R}{I_{en} (t) \cdot \frac{1}{C}} d t = \int - 1 d t \end{matrix}

$\int\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\frac{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\text{I}_\text{S}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)}+\text{R}}{\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}}\space\text{d}t=\int-1\space\text{d}t\tag6$

Sustituto $\text{u}:=\text{I}_\text{in}\left(t\right)$ :

\begin{matrix} (7) & \int \frac{\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{1}{I_{S} + tu} + R}{tu \cdot \frac{1}{C}} d tu = C \cdot {\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \int \frac{1}{I_{S} + tu} \cdot \frac{1}{tu} d tu + R \int \frac{1}{tu} d tu} = C - t \end{matrix}

$\int\frac{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\text{I}_\text{S}+\text{u}}+\text{R}}{\text{u}\cdot\frac{1}{\text{C}}}\space\text{d}\text{u}=\text{C}\cdot\left\{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\int\frac{1}{\text{I}_\text{S}+\text{u}}\cdot\frac{1}{\text{u}}\space\text{d}\text{u}+\text{R}\int\frac{1}{\text{u}}\space\text{d}\text{u}\right\}=\mathcal{C}-t\tag7$

Entonces, obtenemos:

\begin{matrix} (8) & C \cdot {\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{1}{I_{S}} \cdot en | \frac{I_{en} (t)}{I_{en} (t) + I_{S}} | + R \cdot en | I_{en} (t) |} = C - t \end{matrix}

$\text{C}\cdot\left\{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\text{I}_\text{S}}\cdot\ln\left|\frac{\text{I}_\text{in}\left(t\right)}{\text{I}_\text{in}\left(t\right)+\text{I}_\text{S}}\right|+\text{R}\cdot\ln\left|\text{I}_\text{in}\left(t\right)\right|\right\}=\mathcal{C}-t\tag8$

Ahora, podemos escribir:

\begin{matrix} (9) & 0.02353823794935365 < \frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} < 0.05569380628470534 \end{matrix}

$0.02353823794935365<\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}<0.05569380628470534\tag9$

Cuando $0 ^\circ\text{C}=\frac{5463}{20}\space\text{K}\le\text{T}\le\frac{5463}{20}\space\text{K}=50 ^\circ\text{C}$

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Jan Eerland

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