Resolver el circuito del detector de envolvente

Estaba trabajando en un pequeño proyecto y me preguntaba si el circuito del detector de envolvente podría resolverse analíticamente. Dejame explicar.

El circuito es el que se muestra arriba, conozco los valores de$C$,$R$y$V(t)$cual es la señal de entrada. Mi$V(t)$es una función suave y conozco todas sus derivadas. Lo que me gustaría encontrar es la función del tiempo.$V_d(t)$que es la caída de voltaje a través del diodo asumiendo que la ecuación de Shockley es cierta en cada instante de tiempo.

$$I(t) = I_s \Big(\exp \Big(\frac{V_d(t)}{V_t}\Big) - 1 \Big)$$

Otra cosa que asumo es que la ley de voltaje de Kirchhoff es cierta para cada$t$. Encontré una ecuación diferencial de primer orden bastante desagradable, que es:

$$\exp\Big(\frac{V_d(t)}{V_t}\Big) = \lg \Big[\frac{1}{I_s} \Big( \frac{V - V_t}{R} + C\frac{d}{dt} (V - V_d) \Big) + 1\Big]$$

¿Se puede resolver este circuito? ¿El resultado tiene alguna limitación además de las mencionadas anteriormente?

EDITAR: me he dado cuenta de que la pregunta tiene menos significado sin saber el$V_t$, En este caso lo es:

$$V_t(t) = A(1 + m \cos (2 \pi f_1 t + \phi_1))cos(2\pi f_2 t+ \phi_2)$$