Encontrar el desplazamiento de dos ondas que interfieren en un punto determinado

Question

Encontrar el desplazamiento de dos ondas que interfieren en un punto determinado

cantante

Mi consulta se refiere al siguiente ejercicio:

La forma en que entiendo la física de esta situación es la siguiente:

Primero debemos seguir el principio de superposición de ondas. Cuando las dos ondas interfieren, podemos encontrar el desplazamiento resultante sumándolas.

⟹ s (t) = s i norte (2 π F t) + s i norte (2 π F t + π)

$\implies s(t) = sin(2\pi ft) + sin(2\pi ft + \pi)$

La diferencia de ruta es la diferencia de la distancia respectiva de cada megáfono... por definición, creo.

Esto sería, por Pitágoras, más o menos $0.4\ m$ .

La ecuación que me han enseñado a considerar incluye la diferencia de ruta y parece que debería usarse de alguna manera:

s (X_{PAG}, t) = 2 A C o s (\frac{Δ ϕ}{2}) C o s (k X_{a v} - ω t + ϕ_{0, a v})

$s(x_P,t) = 2Acos\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)cos(kx_{av}-\omega t + \phi_{0,av})$

Pero esto se derivó de una configuración diferente con esto, donde los altavoces eran colineales al punto en el que queremos considerar el desplazamiento.

De todos modos, el problema con el que me encuentro con esta lógica es este.

Para lo que tengo actualmente, uso el $sin \ \alpha + sin \ \beta$ identidad y expresada $2\pi f$ como $\omega$ .

s (t) = 2 s i norte (\frac{ω t + ω t + π}{2}) C o s (\frac{ω t - ω t + π}{2})

$s(t)= 2sin(\frac{\omega t + \omega t + \pi}{2})cos(\frac{\omega t - \omega t + \pi}{2})$

s (t) = 2 s i norte (\frac{2 ω t + π}{2}) C o s (π / 2)

$s(t)= 2sin(\frac{2\omega t + \pi}{2})cos(\pi /2)$

Que... va a $0$ para todos $t$ . Claramente arruiné algo aquí. No solo no he podido incorporar la diferencia de ruta, sino que generalmente lo estropeé.

¿Alguien tiene el sentido correcto para esto?

Editar

Volví a intentar el problema nuevamente y de todos modos obtuve una respuesta. Solo tengo un valor de $f$ , en lugar de seleccionar el más bajo posible, por lo que no estoy seguro de si tiene sentido, pero la respuesta parece razonable.

El altavoz superior está separado de Point $X$ por $\sqrt{16+400}$ metros

⟹ X_{1} = 4 \sqrt{26} metro

$\implies x_1 = 4\sqrt{26} \ m$

X_{2} = 20 metro

$x_2 = 20 \ m$

La diferencia de fase se debe a una diferencia de trayectoria espacial. La diferencia de fase se da como $\pi$ .

⟹ Δ ϕ = k Δ X

$\implies \Delta \phi = k\Delta x$

π = k (X_{1} - X_{2})

$\pi = k(x_1-x_2)$

⟹ k = 7.93 {metro}^{- 1}

$\implies k = 7.93 \ m^{-1}$

⟹ λ = 0.792 metro

$\implies \lambda = 0.792 \ m$

⟹ F = 428.75 H z

$\implies f = 428.75 \ Hz$

¿Tiene sentido este razonamiento?

usuario137289

No necesita todas esas fórmulas trigonométricas para manejar

π

$\pi$ .

Respuestas (2)

Encontrar el desplazamiento de dos ondas que interfieren en un punto determinado

No necesita todas esas fórmulas trigonométricas para manejar $\pi$ .

granjero · Answer 1

Claramente arruiné algo aquí.

¿Quizás te has basado demasiado en las ecuaciones y has descuidado la física?

Tu conclusión de que $s(t) = \sin(2\pi ft) + \sin(2\pi ft + \pi)=0$ es bastante correcta porque establece que en una posición dada para todo el tiempo cuando la diferencia de fase entre las dos ondas superpuestas es $\pi$ la amplitud resultante es cero - interferencia destructiva.

No solo no he podido incorporar la diferencia de ruta, sino que generalmente lo estropeé.

No es verdad.
Cuando agregaste el $\pi$ en su ecuación ha incorporado la información sobre la diferencia de trayectoria.
Si las dos fuentes emiten ondas que están en fase, ha dicho que cuando esas ondas llegan a la posición que está considerando, las ondas ahora están $\pi$ fuera de fase porque las ondas de cada una de las fuentes han viajado a diferentes distancias.
Ahora debería poder equiparar esa diferencia de fase a una diferencia en la longitud del camino en términos de la longitud de onda de las ondas.

En términos de las ecuaciones de onda, está considerando la siguiente adición

pecado (ω t - k r) + pecado (w t - k (r + a)) = 2 porque (\frac{k a}{2}) pecado (ω t - k r - \frac{k a}{2})

$\sin(\omega t - kr) + \sin(wt-k(r+a)) = 2 \cos \left( \frac{ka}{2}\right)\sin\left( \omega t-kr - \frac {ka}{2}\right)$

dónde $k=\frac{2\pi}{\lambda},\, \omega = 2\pi f,\,r$ es la distancia entre una fuente y la posición bajo consideración y $a$ es la distancia adicional recorrida por las ondas desde la otra fuente.

Tenga en cuenta la similitud entre la ecuación anterior y la ecuación que utilizó $s(t)= 2\sin\left (\dfrac{2\omega t + \pi}{2}\right )\cos(\dfrac{\pi}{2})$ .

El término sinusoidal es una onda viajera con un cambio de fase de $-\frac {ka}{2}$ y el término coseno modula la amplitud de la onda resultante entre $2$ (interferencia constructiva) y $0$ (interferencia destructiva).

En la pregunta que se le pide que haga que el coseno sea cero y relacione la diferencia de caminos, $a$ , a la geometría de la disposición de fuentes que está considerando.

Intenté esta pregunta nuevamente, ¡por favor avíseme si tengo un poco más de sentido esta vez!
¡Fresco! ¿Por qué no tengo el "valor más bajo posible" para elegir?
@sangstar Si la frecuencia es más baja, la longitud de onda es más alta. ¿Podría encajar la mitad de la longitud de onda en la diferencia de trayectoria si la longitud de onda es mayor, es decir, la frecuencia es menor?
Estoy confundido por lo que quieres decir, me temo. ¿Podría incluir la mitad de una longitud de onda mayor que mi valor actual en la ecuación de diferencia de trayectoria?
@sangstar Ha encontrado una diferencia de ruta y ha ajustado media longitud de onda en esa diferencia de ruta para obtener un mínimo. Si la longitud de onda fuera mayor que eso, entonces la mitad de la longitud de onda no encajaría y no obtendría un mínimo en esa posición.
¿Ajusté una media longitud de onda? En mi cabeza, acabo de inferir que la diferencia de fase se debe a una diferencia de trayectoria espacial, y lo expresé matemáticamente como $\Delta \phi = k\Delta x$ y resuelto por $k$ .
@sangstar Si la frecuencia fuera $400\,\ rm Hz$ ¿Serías capaz de conseguir un mínimo?

JEB · Answer 2

No creo que necesites todos los senos y cosenos, más bien, solo cuenta la distancia usando el mod de fase $2\pi$ --la unidad natural es $\lambda$ modificación $1$ . Por supuesto, tienes que incluir la diferencia de fase electrónica. $\pi$ ser $\lambda/2$ :

X - \frac{λ}{2} = \sqrt{X^{2} + (4 metro)^{2}}

$X - \frac{\lambda}2 = \sqrt{X^2+(4m)^2}$

Resolviendo para los más pequeños $\lambda$ te dio $f$ .

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