Ecuaciones de Maxwells y ley de Coulomb

Question

Ecuaciones de Maxwells y ley de Coulomb

Física
Ley de Gauss
ley de Coulomb
campos vectoriales
electrostática
deberes-y-ejercicios

Mical

La ley de Coulomb y las ecuaciones de Maxwell deben ser consistentes ya que una puede derivarse de la otra .

Digamos que tenemos una carga puntual con tal carga que $-kq=1$ , lo que significa que en cualquier punto el campo eléctrico tendrá una magnitud de

| mi | = \frac{1}{r^{2}}

$|E|=\frac{1}{r^2}$

dónde $r$ es la distancia desde el origen (donde colocamos nuestra carga), y los vectores apuntan hacia el origen en todos los puntos. Esto sería equivalente a lo siguiente en coordenadas cartesianas:

mi = - \hat{X} \frac{X}{(X^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} - \hat{y} \frac{y}{(X^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} - \hat{z} \frac{z}{(X^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}}

$E=-\hat{x}\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\hat{y}\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\hat{z}\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ Podemos verificar que

| mi | = \frac{1}{\sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}}}

$|E|=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

La ley de Gauss en su forma diferencial nos permite calcular una distribución de carga que daría lugar a dicho campo eléctrico utilizando el operador de divergencia:

\nabla \cdot mi = - \frac{1}{X^{2} + y^{2} + z^{2}}

$\nabla \cdot E=-\frac{1}{x^2+y^2+z^2}$

de wolframio alfa: uno , dos

¡Lo que absolutamente no tiene sentido para mí! Intuitivamente, pensaría que sería cero en todas partes excepto (0,0,0). O al menos no ir al infinito en ningún punto.

¿Podría alguien explicar qué está pasando?

Respuestas (2)

Ecuaciones de Maxwells y ley de Coulomb

leonelbrit · Answer 1

leonelbrit

en realidad si calculas $\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}$ , obtienes cero excepto en el origen, donde obtienes infinito. Entonces puedes hacerlo con más precisión y obtener una función delta. Sospecho que hay un error en tu cálculo.

Brian polillas

el error es que dice

| E |

$|\mathbf{E}|$ va como

1 / r

$1/r$ .

leonelbrit

En otras palabras, debería haber hecho este cálculo en su lugar. La suma da un denominador de

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - (y^{2} + z^{2}) - (x^{2} + z^{2}) - (x^{2} + y^{2}) = 0

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) - (x^2 + y^2) = 0$

Brian polillas

Quisiste decir numerador, pero sí, estoy de acuerdo contigo.

MaxV · Answer 2

¿Cuál es el problema? Cualquier objeto cargado tiene un volumen, por lo que el denominador nunca puede ser cero. Entonces E nunca será infinito. la ley es

mi = 1 / r^{2}

$E = 1 / r^2$ es correcto. Pero siempre

\vec{\nabla} \cdot \vec{mi} = q / ϵ_{0}

$\vec \nabla \cdot \vec E = q/\epsilon_0$ porque kq=1 puedes calcular inmediatamente:

k = 1 / (4 π ϵ_{0})

$k= 1/ (4 \pi \epsilon_0 )$

q = 4 π ϵ_{0}

$q = 4 \pi \epsilon_0$ y verificar con

\vec{\nabla} \cdot \vec{mi} = \int_{r}^{0} \int_{2 π}^{0} \int_{π}^{0} mi r pecado (θ) d r d θ d ϕ = mi 4 π r^{2}

$\vec \nabla \cdot \vec E = \int^0_r\int^0_{2\pi}\int^0_\pi E r \sin(\theta) d r d \theta d \phi= E 4\pi r^2$

mi 4 π r^{2} = q / ϵ_{0}

$E 4\pi r^2 = q /\epsilon_0$

4 π = q / ϵ_{0}

$4\pi = q /\epsilon_0$

q = 4 π ϵ_{0}

$q = 4 \pi \epsilon_0$

Ecuaciones de Maxwells y ley de Coulomb

Mical

Respuestas (2)

leonelbrit

Brian polillas

leonelbrit

Brian polillas

MaxV

Divergencia cero del campo eléctrico

Campo eléctrico y potencial eléctrico de una carga puntual en 2D y 1D

problema de la ley de gauss

Diferencia de potencial entre el punto sobre la superficie y el punto sobre el eje del cilindro cargado uniformemente

Campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada con una cavidad [cerrado]

¿Cómo aplico la ley de Gauss a cilindros conductores coaxiales?

Campo eléctrico de losa infinita

¿La carga fuera de la superficie gaussiana no contribuye al flujo?

Noción de flujo y líneas de campo.

¿Dónde está la falla al derivar la ley de Gauss en su forma diferencial?