¿Dónde está la falla al derivar la ley de Gauss en su forma diferencial?

Del teorema de la divergencia para cualquier campo vectorial E,

∮ mi ⋅ d a = ∫ ( ∇ ⋅ mi )   d τ

y de la ley de Gauss

∮ mi ⋅ d a = q mi norte C yo o s mi d ϵ 0 = ∫ ρ ϵ 0   d τ

Por eso,

∫ ρ ϵ 0 d τ = ∫ ( ∇ ⋅ mi )   d τ

Los libros de texto concluyen de la última ecuación que

∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0

Mi pregunta es ¿cómo podemos concluir que los integrandos son iguales? Debido a que puedo pensar en el siguiente contraejemplo, supongamos

∫ − a a F ( X )   d X = ∫ − a a [ F ( X ) + gramo ( X ) ]   d X

dónde gramo ( X ) es una función impar. Obviamente las 2 integrales son iguales pero no podemos concluir que F ( X ) es igual a F ( X ) + gramo ( X ) entonces donde esta la falla?

Respuestas (2)

La ecuacion

∫ V ρ ϵ 0 d τ = ∫ V ( ∇ ⋅ mi )   d τ
es cierto para todas las regiones V en el espacio la integración se realiza sobre. Por eso se sigue que los integrandos son iguales. Su contraejemplo no es válido, porque las integrales son iguales solo cuando el dominio de integración es de la forma [ − a , a ] .

déjame tomar la integral RHS a LHS para obtener ∫ V ρ ϵ 0 − ( ∇ ⋅ mi )   d τ = 0 para cada región V en el espacio. ¿Eso significa que el integrando tiene que ser cero? No me parece. La función de Thomae tiene su integral de Reimann cero en todas partes de la región en la que está definida. sin embargo, la función es distinta de cero en infinitos puntos contables. Incluso la función de Dirichlet da cero integración general en todas partes.

Su contraejemplo es obviamente correcto: no es del todo cierto que, si la integral de una función es la misma que la de otra función, entonces las dos funciones coinciden.

Para demostrar matemáticamente la forma diferencial de la ley de Gauss, si elige el dominio de integración como un paralelepípedo PAG cuyos lados son [ X 0 , X 0 + h X ] , [ y 0 , y 0 + h y ] y [ z 0 , z 0 + h z ] y llama ‖ h ‖ = h X 2 + h y 2 + h z 2 la longitud de la diagonal, aplicando lo dicho aquí , se puede ver que

límite h → 0 h X h y h z ≠ 0 1 h X h y h z ∫ X 0 X 0 + h X ∫ y 0 y 0 + h y ∫ z 0 z 0 + h z ρ ( X , y , z ) ε 0 d X d y d z = ρ ( X 0 , y 0 , z 0 ) ε 0
y
límite h → 0 h X h y h z ≠ 0 1 h X h y h z ∫ X 0 X 0 + h X ∫ y 0 y 0 + h y ∫ z 0 z 0 + h z ( ∇ ⋅ mi ) ( X , y , z ) d X d y d z = ( ∇ ⋅ mi ) ( X 0 , y 0 , z 0 )
Por lo tanto, desde
∫ X 0 X 0 + h X ∫ y 0 y 0 + h y ∫ z 0 z 0 + h z ρ ( X , y , z ) ε 0 d X d y d z
= ∫ X 0 X 0 + h X ∫ y 0 y 0 + h y ∫ z 0 z 0 + h z ( ∇ ⋅ mi ) ( X , y , z ) d X d y d z
tienes la tesis

¿Dónde está la falla al derivar la ley de Gauss en su forma diferencial?
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