¿Son suficientes las ecuaciones de Maxwell para derivar la ley de Coulomb?

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¿Son suficientes las ecuaciones de Maxwell para derivar la ley de Coulomb?

efectivo
Física
ley de Coulomb
electrostática
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell

acatrach

¿Son suficientes las 8 ecuaciones de Maxwell para derivar la fórmula del campo electromagnético creado por una carga puntual estacionaria, que es lo mismo que la ley de Coulomb?

F = k_{mi} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} ?

$F~=~k_e \frac{q_1q_2}{r^2}~?$ Si no me equivoco, debido a que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales, su solución general debe contener constantes arbitrarias. ¿No se necesitan algunas condiciones de contorno y condiciones iniciales para tener una solución única? ¿Cómo es posible decir sin estas condiciones, que una carga puntual estacionaria no genera campo magnético, y el potencial eléctrico escalar es igual a

Φ (r) = \frac{mi}{r} .

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{e}{r}.$

Si se necesitan las condiciones, ¿qué tipo de condiciones son para la situación descrita anteriormente (el campo de carga puntual estacionaria)?

qmecanico

Para esencialmente la pregunta opuesta (v3), vea esta publicación de Phys.SE.

acatrach

Sí, ya he leído esta publicación, pero mi pregunta es bastante diferente.

daniel blay

¿No sería trivial aplicar el teorema de la divergencia a la ley de Gauss para obtener su forma integral? A partir de aquí, parece bastante fácil usar los trucos habituales para encontrar el campo eléctrico de una carga puntual y luego multiplicarlo por alguna carga para obtener su fuerza. ¿Seguramente esta es la ley de fuerza de Coulomb?

Dani

¿Por qué 8 ecuaciones de Maxwell y no 4? ¿Me estoy perdiendo algo?

acatrach

@DanilH: Quise decir 8 ecuaciones escalares. De las 4 ecuaciones de Maxwell, dos son ecuaciones vectoriales.

acatrach

@Daniel Blay: Supongo que cuando dices trucos habituales te refieres a tomar una superficie esférica alrededor de la carga puntual. El problema para mí es cómo sabemos que la magnitud del campo eléctrico de una carga puntual es esféricamente simétrica. Además, ¿cómo podemos deducir que no hay campo magnético (si es posible deducir de las ecuaciones de Maxwell)? :)

Dani

La simetría esférica no está incorporada en la ecuación de Maxwell. Para pasar de la ley de Gauss a la ley de Coulomb para partículas puntuales que producen un campo eléctrico esférico simétrico en el espacio, se debe hacer esta suposición. Además, las ecuaciones de Maxwell no te dicen que no hay campo magnético, solo te dicen que no hay monopolos magnéticos (nuevamente la ley de Gauss). Los campos eléctrico y magnético son dos caras de un mismo campo: el campo electromagnético.

Respuestas (4)

¿Son suficientes las ecuaciones de Maxwell para derivar la ley de Coulomb?

Para esencialmente la pregunta opuesta (v3), vea esta publicación de Phys.SE.
Sí, ya he leído esta publicación, pero mi pregunta es bastante diferente.
¿No sería trivial aplicar el teorema de la divergencia a la ley de Gauss para obtener su forma integral? A partir de aquí, parece bastante fácil usar los trucos habituales para encontrar el campo eléctrico de una carga puntual y luego multiplicarlo por alguna carga para obtener su fuerza. ¿Seguramente esta es la ley de fuerza de Coulomb?
¿Por qué 8 ecuaciones de Maxwell y no 4? ¿Me estoy perdiendo algo?
@DanilH: Quise decir 8 ecuaciones escalares. De las 4 ecuaciones de Maxwell, dos son ecuaciones vectoriales.
@Daniel Blay: Supongo que cuando dices trucos habituales te refieres a tomar una superficie esférica alrededor de la carga puntual. El problema para mí es cómo sabemos que la magnitud del campo eléctrico de una carga puntual es esféricamente simétrica. Además, ¿cómo podemos deducir que no hay campo magnético (si es posible deducir de las ecuaciones de Maxwell)? :)
La simetría esférica no está incorporada en la ecuación de Maxwell. Para pasar de la ley de Gauss a la ley de Coulomb para partículas puntuales que producen un campo eléctrico esférico simétrico en el espacio, se debe hacer esta suposición. Además, las ecuaciones de Maxwell no te dicen que no hay campo magnético, solo te dicen que no hay monopolos magnéticos (nuevamente la ley de Gauss). Los campos eléctrico y magnético son dos caras de un mismo campo: el campo electromagnético.

Emilio Pisanty · Answer 1

La respuesta corta es sí, y de hecho solo necesitas una sola ecuación de Maxwell, la ley de Gauss, junto con la fuerza de Lorentz, para obtener la ley de Coulomb.

Más específicamente, necesita la ley de Gauss en su forma integral , que es equivalente a la forma diferencial para campos de buen comportamiento debido al teorema de Gauss . Por lo tanto, utiliza la ley

\nabla \cdot mi = ρ / ϵ_{0} \Leftrightarrow \oint_{S} mi \cdot d a = q / ϵ_{0},

$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\quad\Leftrightarrow\quad \oint_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=Q/\epsilon_0,$ dónde

Q

$Q$ es la carga total encerrada por la superficie (arbitraria)

S

$S$ .

Para derivar la ley de Coulomb, considere el campo eléctrico de una sola partícula puntual, sin nada más en el universo. Debido a la isotropía (que debe agregarse como postulado adicional), el campo eléctrico en una esfera de radio $r$ centrado en la carga debe ser radial y con la misma magnitud en todo. Eso significa que la integral es trivial y el campo eléctrico debe ser

mi = \frac{q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \hat{r} .

$\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}}.$

Junto con la ley de fuerza de Lorentz a velocidad cero para la partícula de prueba (dado que la ley de Coulomb solo se cumple en electrostática), esto produce la ley de Coulomb.

No es obvio que esta situación altamente simétrica pueda dar la fuerza electrostática general para múltiples partículas. Esto se deriva del principio de superposición, que está muy en el corazón de la electrodinámica clásica, y que se puede obtener a partir de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Esto le da el campo para una sola fuente; agregue los campos para todas las fuentes individuales y obtendrá el campo para la colección de fuentes.

janek_kozicki · Answer 2

La derivación exacta es la siguiente. Empiezas con la Ley de Gauss, integras en ambos lados sobre algún volumen V:

\overset{d i v}{\vec{\nabla}} \cdot \vec{mi} = \frac{1}{ϵ_{0}} ρ / \underset{V}{∭} d^{3} \vec{r}

$\stackrel{\tiny div}{\vec{\nabla}}\cdot\vec{\mathbf{E}}=\frac{1}{\epsilon_0}\rho \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Big/\iiint\limits_V\,d^3\vec{r}$ Luego cambia a integración sobre una superficie cerrada, y también observa que la carga total dentro de este volumen es Q:

\underset{V}{∭} \overset{d i v}{\vec{\nabla}} \cdot \vec{mi} d^{3} \vec{r} = \oint \vec{mi} \cdot d \vec{σ} = \underset{V}{∭} \frac{1}{ϵ_{0}} ρ d^{3} \vec{r} = \frac{q}{ϵ_{0}}

$\iiint\limits_V\stackrel{\tiny div}{\vec{\nabla}}\cdot\vec{\mathbf{E}}\,\,d^3\vec{r}=\oint\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec\sigma=\iiint\limits_V\frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\,d^3\vec{r}=\frac{Q}{\epsilon_0}$ Ahora debe tener en cuenta que el volumen de integración es bastante arbitrario y también lo es la superficie, por lo que usaremos una esfera. Puedes describir la integral sobre una esfera usando:

\frac{q}{ϵ_{0}} = \oint \vec{mi} \cdot d \vec{σ} = \int_{ϕ = 0}^{ϕ = 2 π} \int_{θ = 0}^{θ = π} mi \hat{\vec{norte}} \cdot \hat{\vec{norte}} R d ϕ R d θ = 4 π R^{2} mi / \frac{1}{4 π R^{2}}

$\frac{Q}{\epsilon_0}=\oint\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec\sigma=\int\limits_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\int\limits_{\theta=0}^{\theta=\pi}\mathbf{E}\hat{\vec{n}}\cdot\hat{\vec{n}}\,R\,d\phi\,R\,d\theta=4\pi R^2\mathbf{E}\,\,\,\,\,\,\Big/\frac{1}{4\pi R^2}$ Y así obtienes:

mi = \frac{q}{4 π ϵ_{0} R^{2}}

$\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}$ Debería ser:

\vec{mi} = \frac{q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{r}

$\vec{\mathbf{E}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{\mathbf{r}}$ Pero perdí el vector normal en el camino (espero que alguien pueda corregir esto y editar esta publicación).

Ahora usas la ley de la Fuerza de Lorentz (donde $\vec{\mathbf{B}}=\vec 0$ ):

{\vec{F}}_{yo o r} = q \vec{mi} + q \vec{V} \times \vec{B} = \frac{q q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{r}

$\vec{\mathbf{F}}_{lor}=q \vec{\mathbf{E}}+q \vec{\mathbf{V}}\times\vec{\mathbf{B}}=\frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{\mathbf{r}}$ Y así obtienes la ley de fuerza de Coulomb.

No, no perdiste el vector unitario. Calculaste la carga, que no es un vector. Es un argumento geométrico (ya dado en la respuesta anterior physics.stackexchange.com/a/44423/16689 : el campo eléctrico en una esfera de radio r centrada en la carga debe ser radial y con la misma magnitud ) que te permite recuperar la forma vectorial del campo eléctrico.
gracias, esperaba un método más estricto (matemáticamente hablando) para recuperar el vector unitario. Es cierto que la carga no es un vector, por lo que es imposible obtener un vector unitario en este cálculo. Pero simplemente "agregarlo" (escribirlo) después de completar la derivación no es lo que prefiero. Tal vez podamos hacerlo estrictamente matemáticamente si usamos el $\hat{\vec{z}}$ eje que actualmente se utiliza sólo para definir el $\theta$ ángulo dentro de la integral.

maravilloso · Answer 3

Si está preguntando sobre la ley de Coloumb para los campos eléctricos , sí , puede ver las respuestas de otros.

Si está preguntando sobre la ley de Coloumb para la fuerza eléctrica ,

¡NO!

$\text{NO!}$

Las ecuaciones de Maxwell NO te dicen cómo actúa la fuerza sobre las cargas. $q$ o corrientes $\vec{J}$ .

En pocas palabras, para comprender COMPLETAMENTE el E&M clásico (es decir, uno puede determinar la física a partir de un problema de valor inicial para determinar todas sus consecuencias; la física se trata de determinar/predecir el futuro), necesita AMBOS:

(1) Las ecuaciones de Maxwell

(2) Ley de fuerza de Lorentz (mecánica newtoniana, equivalencia E&M de la fuerza de gravitación newtoniana).

Punch line I: (1) y (2) son cosas absolutamente diferentes.

Principio lagrangiano y variacional Punto de vista EOM

Sin embargo, si parte de un punto de vista lagrangiano, anotando la acción:

S = \int (- \frac{1}{2} | F |^{2} + A \land * j) = \int d^{3} X d t (- \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + A_{m} j^{m})

$S=\int (-\frac{1}{2} |f|^2 + A \wedge *J)=\int d^3xdt (-\frac{1}{4} f_{\mu\nu} f^{\mu\nu} + A_\mu J^\mu)$ con la fuerza de campo de 2 formas

f_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$f_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ le da campos E y M, puede determinar la ecuación de Maxwell a partir de las ecuaciones de movimiento (EOM) haciendo el principio de variación en el campo de calibre 1 = forma

A

$A$ . La fuente es una corriente de 1 forma.

J = (ρ, \vec{J})

$J=(\rho,\vec{J})$ .

Ecuaciones de Maxwell: EOM con respecto al campo de calibre variable de 1 forma $A$

Las ecuaciones de Maxwell se obtienen variando $A$ :

d * F = j -Ley de Gauss para la electricidad, ley de Maxwell-Ampere

$d*F=J \;\;\;\text{-Gauss law for electricity, Maxwell-Ampere's law}$ y

d F = d^{2} A = 0 -Ley de Gauss para el magnetismo, ecuación de Maxwell-Faraday

$dF=d^2A=0 \;\;\;\text{-Gauss's law for magnetism, Maxwell–Faraday equation}$

¿Qué hay de la ley de fuerza de Lorentz? Puedes hacer variación respecto a la coordenada espacial. $x^\mu=(t,x)$ , y debe especificar qué partícula masiva con masa $m$ experimentando la fuerza $F$ , cual es $F=m \ddot{\vec{x}}$ por la mecánica newtoniana. Para especificar una partícula masiva en el Lagrangiano/acción, solo necesita agregar su energía cinética $\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2$ .

Ley de fuerza de Lorentz: EOM con respecto a coordenadas espaciotemporales variables $x^\mu=(t,x)$

S = \int d^{3} X d t (- \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + A_{m} \land j^{m} + \frac{1}{2} metro {\dot{\vec{X}}}^{2}) \to \int d^{3} X d t (+ q Φ - q \dot{\vec{X}} \cdot \vec{A} + \frac{1}{2} metro {\dot{\vec{X}}}^{2})

$S=\int d^3xdt (-\frac{1}{4} f_{\mu\nu} f^{\mu\nu} + A_\mu \wedge J^\mu+\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2) \to \int d^3xdt (+ q\Phi - q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A}+\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2)$

obtendrá la ley de fuerza de Lorentz

metro \ddot{\vec{X}} = q \vec{mi} + q \dot{\vec{X}} \times \vec{B}

$m \ddot{\vec{x}}=q\vec{E}+q \dot{\vec{x}} \times \vec{B}$

Punch line II: Los principios de acción y variacional son muy poderosos para unir (1) las ecuaciones de Maxwell y (2) la ley de fuerza de Lorentz, en el mismo marco.

El esquema anterior de la derivación de la fuerza sobre partículas puntuales aparece en buenos libros, pero tiene un defecto fundamental para las partículas puntuales. Para tales partículas, el término del campo de interacción no tiene valor, ya que el campo es singular en la partícula y el término del campo puro es infinito, lo que invalida cualquier diferenciación formal. El resultado, aunque parece correcto, es erróneo: como potencial vectorial, los campos eléctricos y magnéticos totales no están definidos en el lugar de la partícula. $\vec{x}$ .
@ Ján Lalinský, gracias pero no entiendes mi punto. El campo NO proviene de la partícula puntual de tamaño singular, sino de la fuente externa que la rodea. Tales como corriente externa, planos eléctricos, etc. La derivación se lleva a cabo de los efectos EM externos sobre la partícula puntual.
En la primera parte de tu derivación, hablas de derivar ecuaciones de Maxwell, por lo que hay $f_{\mu\nu}, A_\mu$ son campos totales producidos por fuentes prescritas. En la segunda parte después de "¿Qué tal la ley de fuerza de Lorentz?", si por $f_{\mu\nu}, A_\mu$ se refiere a campos externos, la derivación es correcta, pero considere dejar esto claro en su texto: debido a la primera parte e incluso sin ella, cuando la mayoría de las personas ven estos símbolos, asumen que se refieren al campo total.

Señor · Answer 4

Dada la ley de Gauss Y la fuerza de Lorentz, sí, es posible derivar la ley de Coulomb como ya se ha respondido. Entonces, creo que la pregunta es si es posible derivarlo SOLO con las cuatro ecuaciones de Maxwell (y no con la fuerza de Lorentz). La respuesta sigue siendo sí, ya que la fuerza de Lorentz es equivalente a la ley de Faraday y se puede derivar de ella. La relación entre la ley de Faraday y la fuerza de Lorentz no es trivial en 3D ya que surge la paradoja de Faraday (ver wiki). Por otro lado, cuando el electromagnetismo se expresa en la formulación covariante, no existe tal paradoja.

La fórmula de fuerza de Lorentz no se sigue de las ecuaciones de Maxwell, ni de la ley de Faraday $\nabla \times \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$ , que es parte de las ecuaciones de Maxwell.

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