Ecuaciones de campo de Einstein en el espacio vacío, pregunta sobre la curvatura distinta de cero

Seguramente, independientemente de las matemáticas, en el espacio vacío aún debería ser forzado a cero por el hecho de que no hay nada allí.

La luna orbita alrededor de la Tierra a pesar de que se encuentra, para todos los efectos, en el vacío (es decir, la densidad de materia/energía local es cero).

El punto es que la materia y la energía en una región localizada producen una curvatura del espacio-tiempo en otra parte, incluso si la densidad de energía en esas otras regiones se desvanece. Ya lo sabe, de lo contrario, los campos gravitatorios no existirían en el vacío, pero el libro señala que las ecuaciones de campo implican que esto solo es posible para el espacio-tiempo con$d\geq 4$.

Creo que una analogía podría ayudar. Piensa en la electrostática. El potencial eléctrico$\Phi$satisface la ecuación de Poisson

$$\nabla^2\Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}.$$

Esta es una ecuación entre funciones, por lo que esto significa que cuando evaluamos las dos funciones en el mismo punto, están de acuerdo. Si tenemos una región$U\subset \mathbb{R}^3$en el que no hay carga eléctrica, esto significa que la densidad de carga restringida a$U$, a saber$\rho|_{U}$es cero En otras palabras: si$x\in U$entonces$\rho(x)=0$.

En esta región es entonces claro que

$$\nabla^2\Phi = 0$$

que es la ecuación de Laplace. El hecho de que en$U$no hay cargo y$\Phi$satisface la ecuación de Laplace no es un argumento a favor de la inexistencia de un campo eléctrico en$U$. En realidad, podría haber alguna densidad de carga en otro lugar que produzca un campo.

Un ejemplo común: una densidad de carga localizada$\rho$significa que$\rho$desaparece fuera de alguna bola lo suficientemente grande. Se producirá un campo y será distinto de cero fuera de esa bola, aunque no haya carga en ningún otro lugar.

Ahora hablemos de relatividad general. Las ecuaciones de campo de Einstein establecen que

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}.$$

Lo que puede pasar perfectamente bien es que$T_{\mu\nu}$es distinto de cero en algunas regiones y cero en otras como en el ejemplo anterior.

Piense, por ejemplo, en una distribución de materia localizada: un planeta o estrella aislada.

En estos casos puedes pensar así: tienes puntos en los que$T_{\mu\nu}\neq 0$y puntos en los que$T_{\mu\nu}=0$y tiene que haber una solución compatible con estas dos condiciones. Entonces el$T_{\mu\nu}\neq 0$región le dará un tensor métrico, que debe ser compatible con la solución en$T_{\mu\nu}=0$y así tienes la influencia de la materia en esa región sin materia. En otras palabras, la materia en una región produce una curvatura del espacio-tiempo que puede afectar regiones sin materia perfectamente bien.

Por supuesto, la influencia de la materia en regiones sin materia no se extiende indefinidamente. Si tiene un sistema aislado, por ejemplo, en regiones cercanas a él, sin materia hay una curvatura de espacio-tiempo producida por el sistema, pero lejos, esta influencia debería volverse insignificante y la curvatura de espacio-tiempo debería ser cero. Esto termina conduciendo a la definición de espaciotiempos asintóticamente planos.

Es una buena pregunta.

Supongamos que solo hay espacio vacío y nada cambia, no hay campo, no hay nada, ¿entonces qué? ... bueno, como nada cambia no hay tiempo (porque el tiempo... es cambio). Para que haya tiempo, tiene que haber cambio, incluso en el espacio vacío, y ese cambio son los campos gravitatorios, como bien permite la teoría. Pero ...

"Los campos gravitatorios pueden existir en el espacio vacío" debe ser revisado en "los campos gravitacionales deben existir en el espacio vacío".

(una analogía sería un lago con una superficie de agua plana, lo único que puede suceder es una onda, sin onda -> sin cambio -> sin tiempo, por lo que la onda 'crea' tiempo... sí, están en él juntos espacio y tiempo :)

Un buen giro es el siguiente. ¿Qué pasa si eliminas todo el espacio? ¿Qué pasa con el asunto si quitas todo el espacio? ... piensa en eso, y te darás cuenta de que la materia también tiene que desaparecer, y por lo tanto esa materia está hecha de espacio (!) en lugar de estar en el espacio

El tiempo es cambio (de espacio) y la materia está (hecha de) espacio, deberían ser dos aspectos fundamentales que se deben incluir en la discusión. Entonces deberíamos pensar en qué es realmente el espacio. Y probablemente incluiríamos los hallazgos de QM hasta ahora. Tal vez las cosas de EPR=ER, bastante intrigantes

GR y QM son muy buenos, pero es evidente que falta una nueva visión importante en la física actual. He esbozado mis pensamientos sobre esto.