¿Cuál es el significado de la ecuación de campo de Einstein en términos de fuente y sus efectos sobre la curvatura?

El hecho de que el tensor de energía-momento se llame fuente de curvatura no significa que no pueda haber ninguna curvatura donde no hay energía-momento. De hecho, incluso si$T_{\mu\nu}=0$en todo el espacio-tiempo, todavía hay soluciones no triviales de las ecuaciones de Einstein, en forma de ondas gravitacionales.

deberías recordar eso$T_{\mu\nu}$es una función de$x$, y puede ser distinto de cero dentro de un cuerpo pero cero fuera. Supongamos que tenemos una estrella esféricamente simétrica. Dentro de él, el tensor de momento de energía será un objeto muy complicado, con todo tipo de presiones y flujos y lo que sea. Pero fuera de eso,$T_{\mu\nu}$será simplemente cero. Así que hemos dividido el espacio en dos regiones:

Cuando resolvemos la ecuación exterior suponiendo simetría esférica y una solución estática, obtenemos la solución de Schwarzchild y encontramos que no necesitamos conocer la métrica dentro de la estrella en detalle. Todo lo que necesitamos es un solo número,$M$, que nos dice todo lo que necesitamos saber sobre la curvatura exterior de la estrella.

La métrica de Schwarzchild satisface$R_{\mu\nu}=0$, porque fuera de la estrella (o agujero negro o lo que sea), no hay fuentes. Pero cuando resolvemos una ecuación diferencial, necesitamos condiciones de contorno. Y las condiciones de contorno en la superficie de la estrella (o en$r=0$para un agujero negro) son la forma en que el tensor de energía-momento nos dice que hay materia en algún lugar, incluso si la región donde resolvimos la ecuación está vacía.

Primero notamos que la desaparición del tensor de Ricci no implica la desaparición del tensor de Riemann. Por lo tanto, las ecuaciones de vacío,$R_{\mu\nu}=0$, no implica que el espacio-tiempo sea plano. Las ecuaciones de vacío nos dicen que se anula cierta combinación lineal de componentes del tensor de Riemann.

Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales, por lo general hay que preocuparse por las condiciones de contorno . Las EFE son solo ecuaciones diferenciales de la métrica, para ser resueltas por los componentes$g_{\mu\nu}$. Dejar$D$ser una región del espacio-tiempo que contiene materia, es decir$T|_D\ne 0$. La relatividad general busca resolver el problema

Consideremos un ejemplo concreto. Observaremos una estrella estática esféricamente simétrica$^{1}$. Por el teorema de Birkhoff$^2$, ya sabemos que la solución exterior es la solución de Schwarzschild. Consideramos que la estrella tiene un tensor de energía-momento fluido perfecto en el interior. En el interior, la métrica seguirá teniendo simetría esférica debido a las propiedades de los fluidos perfectos. Así debemos encontrar$A$y$B$en

La solución para$A(r)$es

Claramente, el apoyo$^3$de la densidad y la presión está contenida dentro de la estrella. Si la estrella tiene radio$R$, entonces$\mathcal{M}(R)=M$es la masa total. Analicemos nuestra solución en$r=R$. Para$A(r)$obtenemos solo el componente métrico estándar de Schwarzschild. Un simple ejercicio de cálculo es comprobar que

$^1$Ver [1] sección 11.1 o [2] sección 6.2 para el cálculo completo.

$^2$Demostrado en [1] en la página 337.

$^3$Una cantidad$f$se dice que tiene apoyo en$X$si$f(x)=0$para todos$x\notin X$.

Referencias:

[1] S. Weinberg, Gravitación y Cosmología (1972).

[2] RM Wald, Relatividad general (1984).

las ecuaciones$R_{\mu\nu} = 0$por sí solo no define un problema bien planteado ya que necesita agregar condiciones de contorno. Además, la curvatura de una variedad se mide mediante el tensor de Riemann y$R_{\mu\nu}=0$no implica${R^{\mu}}_{\nu\sigma\rho} = 0$.

Es útil observar una situación análoga en Electrodinámica clásica donde surgen los mismos problemas.

En la Relatividad General, el término fuente es el tensor de tensión-energía. En Electrodinámica Clásica los términos fuente son la carga y la corriente. Cuando no hay fuentes, una posible solución de vacío es un campo eléctrico uniforme constante distinto de cero. Otra posible solución de vacío es un campo eléctrico cero uniforme constante. Podemos armar una solución de vacío y coserlas juntas, y esto ya no será una solución de vacío. Pero, por ejemplo, si toma un uniforme de campo en el$\hat{x}$dirección$\vec{E}=E\hat{x}$de$x=0$a$x=1m$, y juntarlo con$\vec{E}=\vec{0}$para$x<0$y$\vec{E}=\vec{0}$para$x> 1m$, entonces esto aún puede ser una solución para Maxwell, con un término fuente. En este caso se necesita una lámina infinita de carga superficial en el$x=0$plano, y una carga superficial igual y opuesta en una hoja infinita en el$x=1m$avión.

Probemos esto con la Relatividad General, puedes tomar dos soluciones de Schwarzschild para diferentes parámetros de masa,$M$y$m$, con$M$>$m$. Como incrustaciones, pueden parecer embudos. Si tiene una superficie de coordenadas de área constante, obtiene una capa esférica delgada, elija una superficie con área de superficie$4\pi R^2$. Para la solución con$M$Retire el interior interior a la carcasa. Repita para la solución con$m$encuentre la capa delgada con exactamente la misma área de superficie$4\pi R^2$(con el mismo valor numérico de$R$) y esta vez quitar el exterior exterior a la cáscara. Entonces, uno parece un embudo con la punta cortada y el otro parece la punta de un embudo. Como tienen la misma área de superficie y son solo cascarones esféricos, podemos coserlos juntos. Ahora tenemos un colector que parece un embudo con una torcedura.

Cada solución de vacío era una solución libre de fuentes, y las cosimos juntas en una superficie donde la geometría de la superficie coincidía. Pero el resultado (al igual que en el caso de la electrodinámica) no es una solución libre de fuentes. De hecho, esta es una solución donde hay una capa delgada de masa en el área de la superficie.$4\pi R^2$superficie de la cáscara esférica. Está bien que el espacio-tiempo sea curvo (al igual que está bien tener una onda viajera en el electromagnetismo o un campo eléctrico constante). Pero solo se permite cierta curvatura, lo que hace un término fuente es permitir diferentes tipos de curvatura.

Y esto no es artificial de ninguna manera. Si repitieras ese truco con las dos soluciones podrías cortar el interior del$m$solución y poner un$\mu$solución dentro de él y luego tener una solución con dos lugares con fuente, uno en la superficie$4\pi R_1^2$y otro en$4\pi R_2^2$. A medida que coloca capas en más y más radios, puede acercarse a la solución a una estrella o planeta realista que no gira. Todo lo que hace el término fuente es permitirle tener un límite continuo de este proceso, el proceso de unir soluciones de vacío.

Pensar en$G_{\mu \nu}=0$como una forma natural permitida para que el espacio-tiempo se curve (al igual que las ondas de vacío o los campos estáticos son campos electromagnéticos permitidos) y se permite que la curvatura se desvíe de estas curvaturas naturales permitidas siempre que haya un término fuente allí para dar el OK apropiado. Al igual que no se permite que una línea de campo eléctrico termine a menos que haya un cargo allí para aprobar ese mensaje.