Ecuaciones de Bernoulli cuando están involucrados diferentes fluidos y caudales volumétricos

Question

Ecuaciones de Bernoulli cuando están involucrados diferentes fluidos y caudales volumétricos

Sørën

Tengo dudas sobre el uso de la ecuación de Bernoulli cuando se trata de múltiples caudales volumétricos.

Considere, por ejemplo, el dispositivo de la imagen. El agua fluye en el tubo principal, mientras que en el tanque de abajo hay insecticida que es succionado por el tubo principal. El caudal volumétrico de agua es $Q_{W}$ , el caudal volumétrico deseado de insecticida es $Q_I$ . Así que en el punto $3$ el caudal seria $Q_W+Q_I$ .

En el libro de texto las velocidades en el punto $2$ y $3$ se determinan como

v_{2, w a t mi r} = \frac{q_{W}}{π (\frac{d_{1}}{2})^{2}}

$v_{2,\mathrm{water}}=\frac{Q_W}{\pi (\frac{d_1}{2})^2}$

v_{2, i norte s mi C t i C i d mi} = \frac{q_{I}}{π (\frac{d^{'}}{2})^{2}}

$v_{2,\mathrm{insecticide}}=\frac{Q_I}{\pi (\frac{d'}{2})^2}$

v_{3, metro i X t tu r mi} = \frac{q_{W} + q_{I}}{π (\frac{d_{2}}{2})^{2}}

$v_{3,\mathrm{mixture}}=\frac{Q_W+Q_I}{\pi (\frac{d_2}{2})^2}$

Y estoy bien con eso. Los problemas son con el uso de la ecuación de Bernoulli en este contexto (que encontré en el libro de texto).

En primer lugar, BE se utiliza como insecticida entre el punto $1$ y $2$ , y no tengo problemas con eso.

Pero la ecuación se usa también entre el punto $2$ y $3$ para el agua y luego la mezcla , es decir

{pag}_{2} + \frac{1}{2} ρ_{w a t mi r} v_{2, w a t mi r}^{2} = {pag}_{3} + \frac{1}{2} ρ_{w a t mi r} v_{3, metro i X t tu r mi}^{2}

$p_2+\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{water}} v^2_{2,\mathrm{water}}=p_3 +\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{water}} v^2_{3,\mathrm{mixture}}$

El punto es que en $3$ no solo hay agua sino que hay una mezcla, por lo que el fluido es diferente: ¿está permitido usar la ecuación de Bernoulli entre los dos puntos de todos modos?

Mi conjetura sería no porque también podría elegir usar la ecuación de Bernoulli entre $2$ y $3$ pero considerando el insecticida en lugar del agua

{pag}_{2} + \frac{1}{2} ρ_{i norte s mi C t i C i d mi} v_{2, i norte s mi C t i C i d mi}^{2} = {pag}_{3} + \frac{1}{2} ρ_{i norte s mi C t i C i d mi} v_{3, metro i X t tu r mi}^{2}

$p_2+\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{insecticide}} v^2_{2,\mathrm{insecticide}}=p_3 +\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{insecticide}} v^2_{3,\mathrm{mixture}}$

Y $v_{2,\mathrm{water}}\neq v_{2,\mathrm{insecticide}}$ por lo que esto contrasta con la ecuación anterior (al menos los diferentes valores de $\rho$ resolver el problema, que lo dudo).

También para el uso de Bernoulli en $3$ Supongo que no es correcto usar un valor particular de $\rho$ , ya que de nuevo el fluido es una mezcla.

Entonces mi pregunta es: ¿hay alguna razón por la cual sea correcto usar la ecuación de Bernoulli entre $2$ y $3$ ¿en este caso? ¿Y cómo se debe usar?

Respuestas (2)

Ecuaciones de Bernoulli cuando están involucrados diferentes fluidos y caudales volumétricos

Gert · Answer 1

En principio, no puede aplicar Bernoulli a lo que es en efecto una red (simple) de tuberías, pero en algunos casos las aproximaciones servirán.

Apliquemos la ecuación de Bernoulli a las secciones izquierda y media de la tubería:

{PAG}_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = {PAG}_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

$P_1+\frac12 \rho v_1^2=P_2+\frac12 \rho v_2^2$

Como los líquidos son incompresibles ( $A$ es la sección transversal de la tubería):

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

$A_1v_1=A_2v_2$

Así que con una simple sustitución:

{PAG}_{2} = {PAG}_{1} - \frac{1}{2} ρ ((\frac{A_{1}}{A_{2}})^{2} - 1) v_{1}^{2}

$P_2=P_1-\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2$

Ya que como $A_1 > A_2 \implies P_2 < P_1$

Ahora aplique Bernoulli al flujo de insecticida. En el punto $1$ supondremos que la velocidad del flujo es insignificante y la presión atmosférica ( $P_0$ ):

{PAG}_{0} = {PAG}_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{i}^{2} + ρ gramo h

$P_0=P_2+\frac12 \rho v_i^2+\rho gh$

⟹ \frac{1}{2} ρ v_{i}^{2} = {PAG}_{0} - {PAG}_{2} - ρ gramo h

$\implies \frac12 \rho v_i^2=P_0-P_2-\rho gh$

Con la ecuación anterior:

\frac{1}{2} ρ v_{i}^{2} = {PAG}_{0} - {PAG}_{1} + \frac{1}{2} ρ ((\frac{A_{1}}{A_{2}})^{2} - 1) v_{1}^{2} - ρ gramo h

$\frac12 \rho v_i^2=P_0-P_1+\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2-\rho gh$

Para tener algún flujo ascendente de insecticida , es decir , $v_i > 0$ , entonces:

\frac{1}{2} ρ ((\frac{A_{1}}{A_{2}})^{2} - 1) v_{1}^{2} > {PAG}_{1} - {PAG}_{0} + ρ gramo h

$\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2 > P_1-P_0+\rho gh$

Si no se cumple esa condición, ¡entonces la sección central de la tubería en realidad estará goteando agua hacia el dispensador de insecticida!

Si se cumple y suponiendo $v_i\ll v_1$ entonces su enfoque debería funcionar aproximadamente. pero para mas grande $v_i$ necesitaría aplicar el método Cross para redes de tuberías .

Tengo dudas sobre el uso de la ecuación de Bernoulli cuando se trata de múltiples caudales volumétricos.

Por lo tanto, sus dudas están justificadas, pero para pequeños volúmenes dispensados de insecticidas, su enfoque aproximado debería funcionar.

Profundo · Answer 2

(Subíndices $w,i,m$ corresponden a agua, insecticida y mezcla respectivamente.)

Primero, $Q_m=Q_w+Q_i$ sólo si $\rho_w=\rho_i=\rho_m$ . De lo contrario, debe igualar las tasas de flujo másico, $\dot{M}_m=\dot{M}_w+\dot{M}_i$ , encontrar $v_m$ , suponiendo que la densidad de la mezcla es uniforme en la sección transversal en el punto 3.

En segundo lugar, la forma de la ecuación de Bernoulli que ha escrito es aplicable a lo largo de una línea de corriente, solo si la densidad permanece constante a lo largo de esa línea de corriente. Por lo tanto, debe encontrar una línea de corriente en la que el cambio de densidad sea insignificante en comparación con alguna densidad de referencia, por ejemplo, la densidad media en esa línea de corriente. No sé cuáles de las ecuaciones de Bernoulli que has escrito son válidas.

Ecuaciones de Bernoulli cuando están involucrados diferentes fluidos y caudales volumétricos

Sørën

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Gert

Profundo

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