Ecuación de flujo para sistema de tanques acoplados

Question

Ecuación de flujo para sistema de tanques acoplados

pantelis sopasakis

Considere el siguiente sistema de tanques interconectados:

Los dos tanques tienen áreas de sección transversal $A_1$ y $A_2$ respectivamente y los niveles del líquido se denotan por $h_1$ y $h_2$ respectivamente.

El líquido puede correr de un recipiente al otro a través de un tubo de área de sección transversal $a$ , que es significativamente menor que $A_1$ y $A_2$ .

Denotemos la densidad del líquido por $\rho$ y la aceleración gravitatoria por $g$ .

Necesito derivar un modelo dinámico de este sistema que describa la evolución de $h_1$ y $h_2$ y veo en varias publicaciones ( ejemplo ) que

\begin{matrix} (*) & F_{1} = ρ a \sqrt{2 gramo (h_{1} - h_{2})} . \end{matrix}

$F_1 = \rho a \sqrt{2g(h_1-h_2)}.\tag{*}$

Me gustaría usar el principio de Bernoulli para derivar esta fórmula. Asumiré que la pérdida de carga en la tubería debido a la fricción es insignificante.

Del principio de Bernoulli entre un punto $x$ en la superficie del primer tanque y un punto $y$ a su salida

tenemos

\begin{matrix} (1a) & {PAG}_{a t metro} + ρ gramo h_{1} = {PAG}_{y} + \frac{1}{2} ρ v_{y}^{2} \end{matrix}

$P_{atm} + \rho g h_1 = P_y + \frac{1}{2}\rho v_y^2\tag{1a}$

De manera similar, en el principio de Bernoulli en el segundo tanque da

\begin{matrix} (1b) & {PAG}_{a t metro} + ρ gramo h_{2} = {PAG}_{y^{'}} - \frac{1}{2} ρ v_{y^{'}}^{2} \end{matrix}

$P_{atm} + \rho g h_2 = P_{y'} - \frac{1}{2}\rho v_{y'}^2\label{1b}\tag{1b}$

No estoy seguro acerca de la ecuación $\eqref{1b}$ - Usé el signo negativo porque usé la convención de que un signo positivo $v_y$ significa que el líquido fluye del primer tanque al segundo, por lo que el segundo tanque gana energía cinética.

Pregunta 1. ¿Puede aclarar si esto es correcto?

desde el punto $y$ a $y'$ , la ecuación de Bernoulli da

\begin{matrix} (1c) & {PAG}_{y} + \frac{1}{2} ρ v_{y}^{2} = {PAG}_{y^{'}} + \frac{1}{2} ρ v_{y^{'}}^{2} \end{matrix}

$P_{y} + \frac{1}{2}\rho v_{y}^2 = P_{y'} + \frac{1}{2}\rho v_{y'}^2\tag{1c}$

Debido a la ecuación de balance de masa entre los dos extremos del tubo (suponiendo un flujo incompresible), es $v_y = v_{y'}$ .

El balance de masa entre los dos tanques es

\begin{matrix} (2) & ρ A_{1} {\dot{h}}_{1} + ρ A_{2} {\dot{h}}_{2} = 0 . \end{matrix}

$\rho A_1 \dot{h}_1 + \rho A_2 \dot{h}_2 = 0\tag{2}.$

Por último, sabemos que

F_{1} = ρ a v_{y},

$F_1 = \rho a v_y,$

por lo que basta con demostrar que $v_y = \sqrt{2g(h_1-h_2)}$ .

Pregunta 2. Traté de combinar las Ecuaciones (1a-1c) y (2) para derivar la Ecuación (*), pero no lo logré.

Gert

Es correcto pero innecesariamente extenso. Simplemente use la Ley de Torricelli pero ligeramente modificada e inmediatamente obtenga

v = \sqrt{2 g (h_{1} - h_{2})}

$v = \sqrt{2g(h_1-h_2)}$ para la velocidad de flujo entre los tanques. Esto es esencialmente un problema de conversión de energía potencial a energía cinética.

pantelis sopasakis

@Gert gracias por tu comentario. Suena razonable, pero ¿podría publicar una respuesta completa? Por cierto, también me preocupa el hecho de que el principio de Bernoulli asume que el flujo es constante, pero este no lo es (la velocidad cambia con el tiempo a medida que cambian los niveles).

Gert

"la velocidad cambia con el tiempo a medida que cambian los niveles" Ah, me preguntaba sobre eso. En ese caso el sistema se comporta como un oscilador. ¿Te gustaría la solución a eso?

pantelis sopasakis

@Gert Sí, me gustaría ver la solución. Sospecho que si los tanques son grandes, la desaceleración del flujo será insignificante, por lo que podremos usar la ley de Toricelli y la ODE describirá la dinámica del nivel

A_{1} {\dot{h}}_{1} = - a \sqrt{2 g (h_{1} - h_{2})}

$A_1\dot{h}_1 = -a\sqrt{2g(h_1-h_2)}$ y

A_{2} {\dot{h}}_{2} = a \sqrt{2 g (h_{1} - h_{2})}

$A_2\dot{h}_2 = a\sqrt{2g(h_1-h_2)}$ .

Gert

Es un poco tarde aquí ahora para formular una respuesta de inmediato. Por ahora solo mira este problema muy similar: physics.stackexchange.com/questions/222179/…

Respuestas (1)

Ecuación de flujo para sistema de tanques acoplados

Es correcto pero innecesariamente extenso. Simplemente use la Ley de Torricelli pero ligeramente modificada e inmediatamente obtenga $v = \sqrt{2g(h_1-h_2)}$ para la velocidad de flujo entre los tanques. Esto es esencialmente un problema de conversión de energía potencial a energía cinética.
@Gert gracias por tu comentario. Suena razonable, pero ¿podría publicar una respuesta completa? Por cierto, también me preocupa el hecho de que el principio de Bernoulli asume que el flujo es constante, pero este no lo es (la velocidad cambia con el tiempo a medida que cambian los niveles).
"la velocidad cambia con el tiempo a medida que cambian los niveles" Ah, me preguntaba sobre eso. En ese caso el sistema se comporta como un oscilador. ¿Te gustaría la solución a eso?
@Gert Sí, me gustaría ver la solución. Sospecho que si los tanques son grandes, la desaceleración del flujo será insignificante, por lo que podremos usar la ley de Toricelli y la ODE describirá la dinámica del nivel $A_1\dot{h}_1 = -a\sqrt{2g(h_1-h_2)}$ y $A_2\dot{h}_2 = a\sqrt{2g(h_1-h_2)}$ .
Es un poco tarde aquí ahora para formular una respuesta de inmediato. Por ahora solo mira este problema muy similar: physics.stackexchange.com/questions/222179/…

Gert · Answer 1

la velocidad cambia con el tiempo a medida que cambian los niveles

Esta es una información crucial porque puede ser tentador creer que el flujo se detendrá cuando los niveles del tanque se igualen, pero debido a la inercia, este no es el caso. En cambio, el sistema entrará en una oscilación armónica simple.

En primer lugar, un poco de álgebra tediosa. Determinar el nivel de equilibrio $h_0$ (ambos tanques al mismo nivel), a partir de consideraciones de volumen total.

h_{1} A_{1} + h_{2} A_{2} = h_{0} (A_{1} + A_{2})

$h_1A_1+h_2A_2=h_0(A_1+A_2)$

h_{0} = \frac{h_{1} A_{1} + h_{2} A_{2}}{A_{1} + A_{2}}

$h_0=\frac{h_1A_1+h_2A_2}{A_1+A_2}$ Ahora encuentra el volumen

V

$V$ por encima del nivel de equilibrio

h_{0}

$h_0$ para cualquier

h_{1}

$h_1$ ,

h_{2}

$h_2$ :

V = (h_{1} - h_{0}) A_{1} + (h_{0} - h_{2}) A_{2}

$V=(h_1-h_0)A_1+(h_0-h_2)A_2$ con:

h_{2} = \frac{h_{0} (A_{1} + A_{2}) - h_{1} A_{1}}{A_{2}}

$h_2=\frac{h_0(A_1+A_2)-h_1A_1}{A_2}$

V = (h_{1} - h_{0}) A_{1} + (h_{0} - \frac{h_{0} (A_{1} + A_{2}) - h_{1} A_{1}}{A_{2}}) A_{2}

$V=(h_1-h_0)A_1+(h_0-\frac{h_0(A_1+A_2)-h_1A_1}{A_2})A_2$

V = (h_{1} - h_{0}) A_{1} + h_{0} A_{2} - h_{0} (A_{1} + A_{2}) + h_{1} A_{1}

$V=(h_1-h_0)A_1+h_0A_2-h_0(A_1+A_2)+h_1A_1$

V = 2 h_{1} A_{1} - 2 h_{0} A_{1}

$V=2h_1A_1-2h_0A_1$ su masa

m

$m$ es con densidad

ρ

$\rho$ :

metro = ρ (2 h_{1} A_{1} - 2 h_{0} A_{1})

$m=\rho(2h_1A_1-2h_0A_1)$ Entonces, la fuerza neta que actúa sobre la masa total

M

$M$ es:

metro gramo = ρ gramo (2 h_{1} A_{1} - 2 h_{0} A_{1})

$mg=\rho g(2h_1A_1-2h_0A_1)$ La ecuación de movimiento, con

M

$M$ la masa total, es:

METRO a + ρ gramo (2 h_{1} A_{1} - 2 h_{0} A_{1}) = 0

$Ma+\rho g(2h_1A_1-2h_0A_1)=0$ Dónde:

a = \frac{d^{2} h_{1}}{d t^{2}} = \ddot{h_{1}}

$a=\frac{\mathbf{d^2}h_1}{\mathbf{d t^2}}=\ddot{h_1}$ Utilice la siguiente sustitución:

y (t) = ρ gramo (2 h_{1} A_{1} - 2 h_{0} A_{1})

$y(t)=\rho g(2h_1A_1-2h_0A_1)$

\dot{y} = 2 ρ gramo A_{1} \dot{h_{1}}

$\dot{y}=2\rho gA_1\dot{h_1}$

\ddot{y} = 2 ρ gramo A_{1} \ddot{h_{1}}

$\ddot{y}=2\rho gA_1\ddot{h_1}$

\ddot{y} + \frac{2 ρ gramo A_{1}}{METRO} y = 0

$\ddot{y}+\frac{2\rho gA_1}{M}y=0$ Colocar:

ω^{2} = \frac{2 ρ gramo A_{1}}{METRO}

$\omega^2=\frac{2\rho gA_1}{M}$

\Rightarrow y = y_{0} porque (ω t + ϕ)

$\Rightarrow y=y_0\cos(\omega t+\phi)$ Donde

t = 0

$t=0$ :

y_{0} = ρ gramo (2 h_{1} (0) A_{1} - 2 h_{0} A_{1})

$y_0=\rho g(2h_1(0)A_1-2h_0A_1)$ y si

\dot{y} (0) = 0

$\dot{y}(0)=0$ , entonces

ϕ = 0

$\phi=0$ .

Tenga en cuenta que esta derivación solo funciona para líquidos completamente invisibles. Donde hay viscosidad, hay pérdidas por fricción y, por lo tanto, amortiguamiento.

Gracias por la respuesta. Me pregunto por qué el área de la sección transversal del agujero no aparece en su solución. Por ejemplo, si el segundo recipiente estuviera vacío, tendríamos $F = \rho A_{\mathrm{hole}} \sqrt{2gh}$ . Tampoco me queda claro cómo usaste la segunda ley del movimiento de Newton. Tenemos un sistema de masa cambiante, por lo que debe haber un término de la forma $\dot{m}$ .
Permítanme reformular mis preguntas: (i) ¿Bajo qué suposiciones podemos derivar la Ecuación (*) (si es del todo correcta), (ii) ¿Podemos usar las ecuaciones de Bernoulli? (iii) ¿Deberíamos recurrir a la ecuación de Euler para flujos no permanentes?
$F_1 = \rho a \sqrt{2g(h_1-h_2)}.\tag{*}$ solo es cierto si $h_1-h_2=\text{Constant}$ O si $h_2=0$ . Pero debe ser posible desarrollar una versión 'dinámica' del mismo. En condiciones dinámicas, debe aplicar la versión de Euler de Bernoulli. También me molesta que en mi derivación $a$ (el orificio o el diámetro de la tubería) no aparece, lo estoy investigando ahora. También aclararé un poco la MOE.
No puedo derivar (*) usando el principio de Bernoulli (a menos que esté justificado para suponer que $P_{y'}\approx \rho g h_2 + P_{atm}$ ). Por cierto, encontré este artículo scielo.br/… - los autores proponen el uso de la ecuación de Euler y la ecuación de balance de masa para cada tanque. Sin embargo, siento que no justifican mucho sus suposiciones.
Esa es una gran referencia y confirma parte de mi derivación (aunque la mía es más simple). Ellos también encuentran un SHO donde $a$ no cuenta No aparece porque asumimos un líquido perfectamente invisible ('líquido ideal'). Tal líquido no experimenta ninguna resistencia al flujo: el diámetro o la longitud de la tubería no tienen control alguno. Esto es, por supuesto, poco realista. Un sistema real estaría amortiguado debido a la fricción viscosa. Si está interesado en el sistema de vasos comunicantes del 'mundo real' (la referencia tampoco lo cubre), le sugiero que plantee otra pregunta, con detalles específicos. el tubo.
Además de una viscosidad insignificante, también asumen que la longitud de la tubería es insignificante; de lo contrario, la longitud de la tubería afecta la dinámica del sistema (ver este artículo ). ¿Podría dar más detalles sobre la aplicación de la ley de Newton? El movimiento del líquido en general no es lineal. ¿Cuáles son los supuestos subyacentes?
El movimiento no tiene que ser 'lineal'. La EoM es básicamente la Segunda Ley de Newton: $\Sigma F=ma$ , aquí $-\rho g(2h_1A_1-2h_0A_1)=M\ddot{h_1}$ . $M$ es la masa total del sistema, en ambos tanques. ¡Gracias por el voto a favor!
Gracias de nuevo. Publiqué una pregunta separada sobre la derivación de la Ecuación (*) en physics.stackexchange.com/questions/476061/… en caso de que desee echar un vistazo.

Ecuación de flujo para sistema de tanques acoplados

pantelis sopasakis

Gert

pantelis sopasakis

Gert

pantelis sopasakis

Gert

Respuestas (1)

Gert

pantelis sopasakis

pantelis sopasakis

Gert

pantelis sopasakis

Gert

pantelis sopasakis

Gert

pantelis sopasakis

Gert

Distinguir entre presión estática y dinámica en fluidos [cerrado]

¿Cómo estimar el tamaño del agujero dañado en el tanque? [cerrado]

Ecuaciones de Bernoulli cuando están involucrados diferentes fluidos y caudales volumétricos

Si la diferencia de presión es cero entre dos puntos de una tubería horizontal de radio constante, ¿por qué el caudal no es cero?

Ecuación de Bernoulli y marcos de referencia

¿Es válida la ecuación de continuidad cuando se trata de tuberías verticales?

Calcular el caudal de agua a través del orificio

Distancia recorrida por un chorro de agua

Ecuación de Bernoulli para flujo entre cilindros

Vaciado del tanque de combustible [cerrado]