Una paradoja cuando derivaba la ecuación de Bernoulli de la ecuación de energía

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Una paradoja cuando derivaba la ecuación de Bernoulli de la ecuación de energía

dat

Estoy teniendo un ejercicio: derivar la ecuación de Bernoulli ( $\space p_1+\frac{1}{2}\rho V_1^2 = p_2+\frac{1}{2}\rho V_2^2$ ) de la ecuación de la energía:

ρ \frac{D (mi + V^{2} / 2)}{D t} = \nabla (pag V)

$\rho \frac{D(e+V^2/2)}{Dt} = \nabla(pV)$ Para hacerlo claro:

ρ

$\rho$ es la densidad, e es la energía interna de un elemento infinitesimal, p y V son la presión y la velocidad, respectivamente. con las condiciones: constante, incompresible, flujo invisible y sin fuerzas del cuerpo.

Esto es lo que estaba pasando: Debido al flujo invisible, entonces pensé

\frac{D mi}{D t} = 0 (*)

$\frac{De}{Dt}=0 \space(*)$ (tal vez me equivoque en este punto)

Luego tuve la ecuación:

ρ \frac{D (V^{2} / 2)}{D t} = \nabla (pag V)

$\rho \frac{D(V^2/2)}{Dt} = \nabla(pV)$ Fue sencillo para mí derivar la ecuación de Bernoulli de la ecuación anterior y había hecho el trabajo, pero luego surgió una cosa: la ecuación de Bernoulli se mantiene a lo largo de una línea de corriente, considere una línea de corriente del flujo a continuación:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Dejar $V_1 \neq V_2$ , entonces de la ecuación de Bernoulli, tenemos $p_1 \neq p_2$ . Suponga que el flujo es gas perfecto, luego de la ecuación del gas perfecto: $p = \rho RT$ , tendremos $T_1 \neq T_2$ (porque $\rho$ , R son constantes). También sabemos que e = $c_vT$ , $c_v$ es el calor específico a volumen constante. Señalamos: $e_1 \neq e_2$ , eso significa que el elemento en 1 tiene una energía interna diferente del elemento en 2 en un instante de tiempo. Pero después de una cantidad de tiempo, el elemento en 1 (tiene energía interna $e_1$ ) irá a 2 y logrará la energía interna $e_2$ para que podamos decir $De/Dt \neq 0$ . Este resultado contrasta con la anterior (*) ecuación. ¿Alguien puede señalar mi error?

Profundo

De hecho, si va a considerar los cambios de temperatura, entonces es incorrecto suponer

D e / D t = 0

$De/Dt=0$ al principio.

dat

Usualmente usamos la ecuación de Bernoulli para especificar diferentes valores de presión, luego debemos tener diferentes valores de temperatura debido a la ecuación:

p = ρ R T

$p = \rho RT$ . Si asumimos que la temperatura no cambia, ¿cuál es el significado de la ecuación de Bernoulli?, T no cambia, luego p no cambia, luego V no cambia, suponiendo que T no cambia conduce a una paradoja similar.

Ján Lalinský

Su suposición de que la energía interna no cambia es válida solo para el flujo incompresible, tan pronto como una partícula de fluido se comprime, su energía, en general, cambia.

Respuestas (3)

Una paradoja cuando derivaba la ecuación de Bernoulli de la ecuación de energía

De hecho, si va a considerar los cambios de temperatura, entonces es incorrecto suponer $De/Dt=0$ al principio.
Usualmente usamos la ecuación de Bernoulli para especificar diferentes valores de presión, luego debemos tener diferentes valores de temperatura debido a la ecuación: $p = \rho RT$ . Si asumimos que la temperatura no cambia, ¿cuál es el significado de la ecuación de Bernoulli?, T no cambia, luego p no cambia, luego V no cambia, suponiendo que T no cambia conduce a una paradoja similar.
Su suposición de que la energía interna no cambia es válida solo para el flujo incompresible, tan pronto como una partícula de fluido se comprime, su energía, en general, cambia.

usuario154997 · Answer 1

Tenías que asumir que el fluido es incompresible para escribir Bernoulli. La ecuación de estado de tal fluido definitivamente no es la ley de los gases perfectos. O por el contrario, un gas perfecto no es incompresible en general. Para aplicarle el principio de Bernoulli, debe al menos suponer que la presión al principio y al final de la línea de corriente son iguales. Y luego que no hubo transferencia de calor a lo largo de la línea de corriente.

¿Por qué suponer que la presión al principio y al final de la línea de vapor son iguales mientras que se supone que la presión cambia cuando se aplica el principio de Bernoulli?

mike piedra · Answer 2

mike piedra

La ecuación de Bernoulli para el flujo estacionario de fluidos compresibles es

h + \frac{1}{2} | v |^{2} = C o norte s t .

$h+ \frac 12 |{\bf v}|^2=const.$ a lo largo de líneas de corriente. Aquí

h

$h$ es la entalpía

U + P V

$U+PV$ por unidad de masa. Solo se reduce a la expresión del OP cuando

ρ = 1 / V

$\rho=1/V$ es una constante

dat

Con

ρ

$\rho$ es constante, hace

γ

$\gamma$ ¿Tienes que ir al infinito también?

mike piedra

@Dat. En flujo incompresible, la presión no es una cantidad muy útil porque toma cualquier valor que sea necesario para mantener constante el volumen de un poco de fluido. En otras palabras, la ecuación de Euler debe considerarse como una ecuación que determina

P

$P$ en lugar de uno en el que

P

$P$ determina

v

${\bf v}$ . Como ejemplo, esta es la razón por la cual los golpes de ariete son malos para los sistemas de plomería: una parada repentina en el flujo causada por el cierre de una válvula puede producir presiones muy grandes que pueden romper la tubería. De este modo

γ

$\gamma$ es bastante inútil también.

dat

No me parece. La presión es bastante importante si tiene un flujo incompresible sobre un perfil aerodinámico. Sin embargo, ¿podría editar su respuesta para manipular cómo su ecuación se reduce a mi expresión cuando

ρ

$\rho$ es una constante? realmente me ayudaría

GodotMisogi

@Dat Los gases ideales no son fluidos ideales (es decir, no son incompresibles), consulte cfd-online.com/Forums/main/… y facstaff.cbu.edu/rprice/lectures/idealgas.html .

GodotMisogi

Además, lo que dice Mike Stone es correcto. Las velocidades se evalúan con aproximaciones de capa límite para flujos incompresibles a través de superficies aerodinámicas, cuyas distribuciones de presión y esfuerzo cortante se resuelven para obtener los coeficientes de sustentación y arrastre.

mike piedra

@Dat Si

V

$V$ es constante y no fluye calor (isentrópica), entonces la energía interna

U

$U$ por unidad de masa es constante. También

P V = P / ρ

$PV= P/\rho$ , entonces mi expresión se reduce a la tuya.

dat

Mire esta manipulación en el problema 7.13 ( drive.google.com/file/d/190A8k_okkTKAici08u-CX2YPQaMAEmb1/… ). El problema es el mismo aquí: Reducir (h + V^2/2 = const) a la ecuación de Bernoulli. El autor utilizó la ley de los gases perfectos y supuso

γ

$\gamma$ acercarse al infinito. ¿Qué opinas de esta manipulación?

dat

@GodotMisogi he leído la publicación en el foro cfd-online. Martin Hegedus dijo: "para el flujo incompresible, primero se resuelve la presión y la velocidad y luego la temperatura y la densidad". Entiendo que p y V se resuelven a partir de las ecuaciones de continuidad y momento. Pero cómo T y

ρ

$\rho$ se resuelven con la ecuacion de energia? Para el flujo incompresible, ¿la ecuación de energía se reduce a la ecuación de Bernoulli, que es la ecuación de continuidad y cantidad de movimiento? Entonces, ¿la ecuación de energía para el modelo incompresible es inútil?

GodotMisogi · Answer 3

Después de mucha deliberación, creo que he descubierto el problema. La suposición $De/Dt = 0$ :

⟹ \frac{\partial mi}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla mi = 0

$\implies \frac{\partial e}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla e = 0$ es correcto para un flujo incompresible con la solución trivial

\partial e / \partial t = \nabla e = 0

$\partial e/\partial t = \nabla e = 0$ , y solo se aplica a un flujo adiabático constante, no viscoso. La ecuación de conservación que estás buscando es:

\frac{D}{D t} (mi + \frac{PAG}{ρ} + \frac{v^{2}}{2}) = 0

$\frac{D}{Dt}\left(e + \frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2}\right) = 0$

Integrar esto te da una constante, que se considera la entalpía total:

⟹ mi + \frac{PAG}{ρ} + \frac{v^{2}}{2} = h_{0}

$\implies e + \frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} = h_0$ Físicamente, la energía interna del gas sufre intercambios con su energía cinética y presión, dejando su entalpía total

h_{0}

$h_0$ (una condición en la que un elemento fluido se lleva adiabáticamente al reposo, con la entalpía definida como

h = e + P V

$h = e + PV$ , dónde

V = 1 / ρ

$V = 1/\rho$ es el volumen específico) es constante a lo largo de una línea de corriente.

Para explicar esto en el caso de un flujo incompresible, considere la ecuación de Bernoulli comprimible en su caso descrito donde el volumen específico (y por lo tanto la densidad) no cambia:

h_{2} - h_{1} = C_{PAG} (T_{2} - T_{1}) = C_{V} (T_{2} - T_{1}) + \frac{{PAG}_{2} - {PAG}_{1}}{ρ} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{2}, C_{PAG} = \frac{γ R}{γ - 1}, C_{V} = \frac{R}{γ - 1}

$h_2 - h_1 = c_P(T_2 - T_1) = c_V(T_2 - T_1) + \frac{P_2 - P_1}{\rho} = \frac{v_1^2 - v_2^2}{2}, \quad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}, \,c_V = \frac{R}{\gamma - 1}$

Para aproximar un gas incompresible en esta situación, sea $\gamma \to \infty$ , y obtendrá la ecuación de Bernoulli para flujos incompresibles a lo largo de una línea de corriente, que es equivalente a la solución de Anderson con $c_P$ y la ecuación de estado de un gas ideal.

Dado que las temperaturas son diferentes en diferentes puntos del espacio, las energías internas son diferentes (lo que de hecho da como resultado cambios en la energía interna a lo largo del tiempo a lo largo de la línea de corriente por la ley de conservación $De/Dt = 0$ [derivada direccional en la dirección $\vec v$ ]). Por lo tanto, sus cambios en la entalpía dan como resultado cambios en la temperatura a presión constante (casi por definición), o cambios en la presión a volumen constante), cuando se considera que el gas es incompresible. Tenga en cuenta que el flujo en sí no es incompresible en el primer caso.

Tengo tantas preguntas, primero mire la página 210, avionicsengineering.files.wordpress.com/2016/11/… El autor dijo: "De hecho, la ecuación de Bernoulli se puede derivar de la ecuación de energía general, como la Ecuación (2.114)" Puedo No derive la ecuación de Bernoulli de la ecuación (2.114).
En segundo lugar, ¿por qué $\gamma$ tiene que ser infinito? tu obligas $\gamma$ ser infinito para conducir la ecuación de Bernoulli a partir de la ecuación de energía, es decir, agrega una suposición adicional. Eso significa que la ecuación de energía solo se reduce a la ecuación de Bernoulli cuando fuerza $\gamma$ ser infinito y $\rho$ ser constante Pero considere cuando un flujo sobre un perfil aerodinámico con M<<1, aunque $\rho$ se considera constante en este caso, $\gamma$ sigue siendo 1.4. Eso significa que la ecuación de energía no puede reducirse a Bernoulli en este caso.
1. Algunas suposiciones reducen la ecuación de energía a: $\rho D(e + \vec v^2/2)/Dt = -\nabla \cdot (p \vec v)$ . Para flujo incompresible, $\nabla \cdot \vec v = 0$ , entonces expanda los términos en la expresión anterior y comience a cancelar algunos. Anderson también cubre esta derivación de manera más general para el flujo compresible en la ecuación. 7.49. 2. Para flujo incompresible $M \to \infty$ y $M = \sqrt{\gamma RT}$ . Como la constante de los gases y la temperatura son fijas, $\gamma \to \infty$ . Por lo tanto, la ecuación de energía se reduce a la ecuación de Bernoulli en flujo incompresible, como lo solicitó su pregunta.
Según su comentario anterior, solo tenemos un flujo incompresible cuando $\gamma \to \infty$ . Pero considere un flujo sobre un perfil aerodinámico con M algo así como 0.1 al nivel del mar. Con esa condición, creo $\gamma$ sigue siendo 1,4, pero ¿por qué la gente todavía considera que el flujo es incompresible?
Incompresibilidad cuando $M < 0.3$ es una aproximación realizada en experimentos/simulaciones del mundo real, por lo que las matemáticas son menos engorrosas. Creo que la diferencia en los resultados varía como un 2% dentro de ese límite. Para derivar la ecuación de Bernoulli, se deben cumplir ciertas condiciones del flujo, que también se asumen al derivarlo a través de la ecuación de cantidad de movimiento.
¿Cómo se calcula la temperatura para el flujo incompresible, ejemplo para el flujo de aire sobre el perfil aerodinámico con M < 0,3?

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