¿Ecuación vectorial solución que involucra el producto vectorial?

¿Por qué no cambiarlo a un sistema de ecuaciones?

$$a \times b= (a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)=(c_1,c_2,c_3)$$

O dicho de otro modo, tenemos el sistema de ecuaciones

$$\begin{pmatrix}0&-a_3&a_2\\a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$$

Vale la pena señalar que esta matriz es asimétricamente simétrica y tiene un determinante$0$, por lo que no siempre tendrá solución.

Su imagen es precisamente el palmo de$(0,a_3,-a_2),(-a_3,0,a_1),(a_2,-a_1,0)$

el vector$c_1,c_2,c_3$yace en su imagen (existe un$b$en absoluto) si y solo si se puede escribir como una combinación lineal de tres vectores que abarcan la imagen de la matriz. En particular, si se puede escribir como una combinación lineal con escalares$\lambda_1,\lambda_2\lambda_3$, es decir: es de la forma

$$(\lambda_1 a_2- \lambda_2a_3,\lambda_1 a_3-\lambda_3 a_1,\lambda_2 a_1-\lambda_1 a_2),$$

y después de tomar el producto escalar con$(a_1,a_2,a_3)$es cero, entonces es ortogonal a$(a_1,a_2,a_3)$.

no hay vector$u$tal que$(1,1,0)\times u=(0,1,1)$, desde$(1,1,0)$y$(0,1,1)$no son ortogonales.

Si$a=(a_1,a_2,a_3)$,$c=(c_1,c_2,c_3)$y$a$y$c$son ortogonales, para encontrar un$b=(b_1,b_2,b_3)$tal que$a\times b=c$, puedes resolver el sistema

$$\left\{\begin{array}{l}a_2b_3-a_3b_2=c_1\\a_3b_1-a_1b_3=c_2\\a_1b_2-a_2b_1=c_3.\end{array}\right.$$

Dejar$u=(a,b,c)$, la computación conduce a:

$$(1,1,0)\times u=(c,-c,b-a).$$ Por lo tanto, la ecuación dada no tiene solución.

Además, en este caso sabemos desde cero que no puede existir una solución tan$(1,1,0)\times u$debe ser ortogonal a$(1,1,0)$y$(0,1,1)$no es.