Para los vectores ortonormales a,b∈R3a,b∈R3a, b \in \mathbb{R}^3, pruebe det[aba×b]=1det[aba×b]=1\det\begin{bmatrix} a & b & a \veces b \end{bmatriz} = 1.

Question

Para los vectores ortonormales a,b∈R3a,b∈R3a, b \in \mathbb{R}^3, pruebe det[aba×b]=1det[aba×b]=1\det\begin{bmatrix} a & b & a \veces b \end{bmatriz} = 1.

determinante
Matemáticas
producto cruzado
álgebra lineal

mecanodroide

Dejar $a = (a_1, a_2, a_3)$ y $b = (b_1, b_2, b_3)$ ser dos vectores ortonormales en $\mathbb{R}^3$ y $a \times b \in \mathbb{R}^3$ su producto cruz.

Me gustaría probar por cálculo directo que la matriz $A = \begin{bmatrix} a & b & a \times b \end{bmatrix}$ tener los vectores $a, b$ y $a \times b$ ya que sus columnas tienen determinante $1$ .

Podríamos por ejemplo observar que $A$ representa una transformación de una base ortonormal $\{e_1, e_2, e_3\}$ a una base ortonormal $\{a, b, a \times b\}$ que podría lograrse como una composición de dos rotaciones (una rotatoria $e_3$ a $a \times b$ , y otra alrededor del eje $a \times b$ alineando $\{e_1, e_2\}$ con $\{a, b\}$ ), y por lo tanto tiene determinante $1$ . No estoy interesado en tales enfoques.

Mi intento:

Tenemos $a\times b = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_2b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}$ .

De este modo:

\begin{aligned} det A & = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{2} & b_{2} & a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{3} & b_{3} & a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix} | \\ = Expansión de Laplace a lo largo de la primera columna \\ = a_{1} | \begin{matrix} b_{2} & a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ b_{3} & a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix} | - a_{2} | \begin{matrix} b_{1} & a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ b_{3} & a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix} | + a_{3} | \begin{matrix} b_{1} & a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ b_{2} & a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \end{matrix} | \\ = a_{1} (a_{1} {b_{2}}^{2} - a_{2} b_{1} b_{2} - a_{3} b_{1} b_{3} + a_{1} {b_{3}}^{2}) - a_{2} (a_{1} b_{1} b_{2} - a_{2} {b_{1}}^{2} - a_{2} {b_{3}}^{2} + a_{3} b_{2} b_{3}) + a_{3} (a_{3} {b_{1}}^{2} - a_{1} b_{1} b_{3} - a_{2} b_{2} b_{3} + a_{3} {b_{2}}^{2}) \\ = {a_{1}}^{2} {b_{2}}^{2} - a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} - a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} + {a_{1}}^{2} {b_{3}}^{2} - a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + {a_{2}}^{2} {b_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} {b_{3}}^{2} - a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} + {a_{3}}^{2} {b_{1}}^{2} - a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} - a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} + {a_{3}}^{2} {b_{2}}^{2} \\ = {a_{1}}^{2} ({b_{2}}^{2} + {b_{3}}^{2}) - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} - 2 a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} + {a_{2}}^{2} ({b_{1}}^{2} + {b_{3}}^{2}) - 2 a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} + {a_{3}}^{2} ({b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \det A &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_2 & b_2 & a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_3 & b_3 & a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{vmatrix} \\ &= \text{Laplace expansion along the first column}\\ &= a_1 \begin{vmatrix} b_2 & a_3b_1 - a_1b_3 \\ b_3 & a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_1 & a_2b_3 - a_3b_2 \\ b_3 & a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & a_2b_3 - a_3b_2 \\ b_2 & a_3b_1 - a_1b_3 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_1 \big(a_1{b_2}^2 - a_2b_1b_2 - a_3b_1b_3 + a_1{b_3}^2\big) - a_2\big(a_1b_1b_2 - a_2{b_1}^2 - a_2{b_3}^2 + a_3b_2b_3\big) + a_3\big(a_3{b_1}^2 - a_1b_1b_3 - a_2b_2b_3 + a_3{b_2}^2\big) \\ &= \color{red}{{a_1}^2{b_2}^2} - \color{green}{a_1a_2b_1b_2} - a_1a_3b_1b_3 + \color{red}{{a_1}^2{b_3}^2} - \color{green}{a_1a_2b_1b_2} + \color{blue}{{a_2}^2{b_1}^2} + \color{blue}{{a_2}^2{b_3}^2} - a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2{b_1}^2 - a_1a_3b_1b_3 - a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2{b_2}^2 \\ &= \color{red}{{a_1}^2({b_2}^2 + {b_3}^2)} - \color{green}{2a_1a_2b_1b_2} - 2a_1a_3b_1b_3 + \color{blue}{{a_2}^2({b_1}^2+{b_3}^2)} - 2a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2({b_1}^2 + {b_2}^2) \\ \end{align}$

Ahora podríamos usar ${b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 = 1$ pero nada parece simplificarse a partir de este punto. También tenemos que usar la ortogonalidad en algún punto. ¿Cómo debemos proceder?

Admirador

un error tipográfico en la primera línea de su cálculo, tenga en cuenta la primera entrada de su

a \times b

$a\times b$ es

a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}

$a_2b_3-a_3b_2$

mecanodroide

@Fan Gracias. Es muy sencillo ahora.

Respuestas (2)

Para los vectores ortonormales a,b∈R3a,b∈R3a, b \in \mathbb{R}^3, pruebe det[aba×b]=1det[aba×b]=1\det\begin{bmatrix} a & b & a \veces b \end{bmatriz} = 1.

un error tipográfico en la primera línea de su cálculo, tenga en cuenta la primera entrada de su $a\times b$ es $a_2b_3-a_3b_2$

djechlin · Answer 1

a_{1}^{2} (b_{2}^{2} + b_{3}^{2}) = a_{1}^{2} (1 - b_{1}^{2}) = a_{1}^{2} - a_{1}^{2} b_{1}^{2}

$a_1^2(b^2_2+b_3^2) = a_1^2(1-b_1^2) = a_1^2 - a_1^2b_1^2$

Repita con los otros términos y un $a_1^2+a_2^2+a_3^2 = 1$ abandonará

Ahora tienes un $\mathbf a \cdot \mathbf b$ apareciendo

mecanodroide · Answer 2

Después de corregir el error tipográfico en el cálculo notado por @Fan, la declaración sigue fácilmente.

Usando ${b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 = 1$ obtenemos:

\begin{aligned} det A & = {a_{1}}^{2} ({b_{2}}^{2} + {b_{3}}^{2}) - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} - 2 a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} + {a_{2}}^{2} ({b_{1}}^{2} + {b_{3}}^{2}) - 2 a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} + {a_{3}}^{2} ({b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}) \\ = {a_{1}}^{2} (1 - {b_{1}}^{2}) + {a_{2}}^{2} (1 - {b_{2}}^{2}) + {a_{2}}^{2} (1 - {b_{2}}^{2}) - 2 a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} - 2 a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} \\ = {a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} + ({a_{1}}^{2} {b_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} {b_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} {b_{3}}^{2} - 2 a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} - 2 a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2}) \\ = ‖ a ‖^{2} + ⟨ a, b ⟩^{2} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{align}\det A &= \color{red}{{a_1}^2({b_2}^2 + {b_3}^2)} - \color{green}{2a_1a_2b_1b_2} - 2a_1a_3b_1b_3 + \color{blue}{{a_2}^2({b_1}^2+{b_3}^2)} - 2a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2({b_1}^2 + {b_2}^2) \\ &= {a_1}^2(1 - {b_1}^2) + {a_2}^2(1 - {b_2}^2) + {a_2}^2(1 - {b_2}^2) - 2a_1a_3b_1b_3 - 2a_2a_3b_2b_3 - 2a_1a_2b_1b_2\\ &= {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + \big({a_1}^2{b_1}^2 + {a_2}^2{b_2}^2 + {a_3}^2{b_3}^2 -2a_1a_3b_1b_3 - 2a_2a_3b_2b_3 - 2a_1a_2b_1b_2\big)\\ &= \|a\|^2 + \langle a, b\rangle^2\\ &= 1 \end{align}$

También puede intentar expandir a lo largo de la última columna. Podría ahorrar más tiempo.

Para los vectores ortonormales a,b∈R3a,b∈R3a, b \in \mathbb{R}^3, pruebe det[aba×b]=1det[aba×b]=1\det\begin{bmatrix} a & b & a \veces b \end{bmatriz} = 1.

mecanodroide

Admirador

mecanodroide

Respuestas (2)

djechlin

mecanodroide

Admirador

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

Producto triple escalar: ¿por qué equivalente a determinante?

¿Cómo resolver este sistema lineal de tres ecuaciones usando la regla de Cramer?

Operadores lineales que conservan la norma del producto cruzado

Producto cruzado definido en RnRn\mathbb R^n

Encuentre la matriz triangular y el determinante.

¿Cuál es mi error en este determinante de orden nnn?

¿Cómo calcular el determinante de una matriz con vectores unitarios le da el Producto Cruzado?

Determinante de una matriz triangular