Usando el teorema de Noether para obtener una constante de movimiento de un campo vectorial Killing

Tenga en cuenta que no usaré el signo de suma, sino la convención de suma de Einstein: los pares repetidos de índices (superior e inferior) se suman$\sum_{a} A_{a} B^{a} \equiv A_{a}B^{a} = A_{c}B^{c}$

Dado el Lagrangiano:

$$L = G_{ab} \dot q^a\dot q^b\tag{1}$$ Y la siguiente ecuación que involucra el vector Killing$v^a$ $$\Big( \partial_a G_{bc}v^a + G_{ba}\partial_c v^a + G_{ca}\partial_b v^a \Big) = 0.\tag{2}$$ Pruebalo $$Q_v = v^a \dot q^b G_{a b}\tag{3}$$ es una constante de movimiento. PISTA : Piensa en el teorema de Noether.

Que he hecho:

El teorema de Noether establece que si$q^a \to q^a + \epsilon k^a$es una simetría del Lagrangiano, entonces$p_a k^a$es una constante de movimiento.

• A continuación justifico la simetría traslacional. No está relacionado con mi problema con este problema, por lo que puede omitirlo si lo desea.

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Ocupémonos de la traducción.

Primero, tenemos que mostrar que la traslación es una simetría del Lagrangiano. Si tomamos la derivada con respecto al tiempo en ambos lados de$q^a \to q^a + \epsilon k^a$, terminamos con$\dot q^a \to \dot q^a$.

Se justifica que$\dot q^a$los términos no cambian en la traducción.

Pero aún no hemos terminado porque$G_{ab}$depende de$q$. Pero se cumple lo siguiente:

$$G_{ab}(q^c) = G_{ab}(q^c + \epsilon k^c)$$

Entonces la traducción deja nuestro invariante lagrangiano

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Bien, una vez que hemos demostrado que la traducción deja nuestro invariante lagrangiano, tenemos que demostrar que (usando el teorema de Noether):

$$Q_v = p_k \Big( \frac{\partial (q^k)^{\lambda}}{\partial \lambda}\Big)_{\lambda = 0} = v^a \dot q^b G_{a b} \ \ \ \ (1)$$

yo se como calcular$p_k$

$$p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot q^k} = G_{ab} \delta_k^a \dot q^b + G_{ab} \delta_k^b \dot q^a = G_{kb} \dot q^b + G_{ak} \dot q^a = 2 G_{ak} \dot q^a \ \ \ \ (2)$$

Mi problema es cómo lidiar con $\Big( \frac{\partial (q^k)^{\lambda}}{\partial \lambda}\Big)_{\lambda = 0}$

Yo sé eso:

$$\sum_{j=1}^{k} \Big[ \frac{\partial (q_j^k)^{\lambda}}{\partial \lambda}\Big] = \delta_{j}^{k}$$

Entonces calculé:

$$\frac{\partial (q^a)^{\lambda}}{\partial \lambda} |_{\lambda=0} = 1$$

$$\frac{\partial (q^b)^{\lambda}}{\partial \lambda} |_{\lambda=0} = 0$$

$$\frac{\partial (q^c)^{\lambda}}{\partial \lambda} |_{\lambda=0} = 0$$

Usé también esta idea con$q^b$y$q^c$y obtuve como cantidad conservativa:

$$Q = \dot q^b\Big( G_{ab} + G_{bb} + G_{bc} \Big)$$

Cuál está mal...

Además, no usé$\Big( \partial_a G_{bc}v^a + G_{ba}\partial_c v^a + G_{ca}\partial_b v^a \Big) = 0$

Así que definitivamente me estoy perdiendo algo.