Ecuación de movimiento de una partícula cargada

Para calcular las ecuaciones de movimiento de una partícula de prueba neutra en el campo gravitacional, se necesita el tensor métrico$g_{\mu \nu}$y$g^{\mu \nu}$para calcular los símbolos de Christoffel

$${\Gamma^{\rm i}_{\rm j k} = \sum _{\rm s=1}^4 \ \frac{{{g}}^{\rm i s}}{2} \left(\frac{\partial {g}_{\rm s j}}{\partial {\rm x^k}}+\frac{\partial {g}_{\rm s k}}{\partial {\rm x^j}}-\frac{\partial {g}_{\rm j k}}{\partial {\rm x^s}}\right)}$$

y obtenga la aceleración coordinada de la partícula de prueba:

$${{\rm \ddot x^{i} = -\sum _{j=1}^4 \sum _{k=1}^4 \ \dot x^j \ \dot x^k \ \Gamma^{i}_{j k}}}$$

Pero en la vecindad de una carga, no solo existe el tensor métrico, que podría verse así

$$g_{\mu \nu}=\left( \begin{array}{cccc} g_{\rm t t} & 0 & 0 & g_{\rm t \phi} \\ 0 & g_{\rm r r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g_{\rm \theta \theta} & 0 \\ g_{\rm t \phi} & 0 & 0 & g_{\rm \phi \phi} \\ \end{array} \right)$$

donde el$g$-los componentes son funciones de las coordenadas y la masa, la carga y el espín, pero también un potencial de Coulomb, que se ve como

$$\rm A_{\alpha}=(Q/r,0,0,0)$$

¿Cómo se conecta el potencial de Coulomb en la ecuación geodésica? El tensor métrico es un$4 \times 4$matriz, pero el potencial de Coulomb parece ser$1 \times 4$, ¿cómo se suma esto para encontrar las geodésicas?$\rm \ddot x^i$de una partícula cargada de carga$\rm q$en la vecindad de una masa dominante de carga$\rm Q$?

En Wikipedia encontré la ecuación.

$${{\rm \ddot x^i = - \Gamma^i_{j k}{\dot x^j}{\dot x^k}\ +\frac{q}{m} \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{\rm j k}}}$$

pero no hay definición de${\rm F^{i k}}$, que es, como mencionaron Chrisoph y Eddy, el tensor electromagnético. Pero, ¿cuál es el tensor electromagnético para la métrica de Kerr-Newman en coordenadas esféricas (Boyer Lindquist)?

Editar: gracias por las respuestas, eso es lo que obtuve hasta ahora: Captura de pantalla