Ecuación de Gross-Pitaevskii en condensados ​​de Bose-Einstein

Esperaba que alguien pudiera dar una explicación accesible de la ecuación de Gross-Pitaevskii . Todas las fuentes que he podido encontrar parecen concentrarse en la derivación, y no tengo los antecedentes de física para seguir. Por lo que entiendo, sin embargo, es que la ecuación GP modela el estado fundamental de una colección de bosones (todos en el mismo estado de energía más bajo) utilizando "algún enfoque de teoría de campo medio". mis preguntas principales son

  1. ¿Cuáles son algunas de las suposiciones que conducen a la ecuación GP?

  2. He leído que el GP es 'una ecuación de Schrödinger no lineal'. Reconozco la forma de la ecuación de Schrödinger en el GP, pero ¿es el término adicional de magnitud de psi cuadrado parte del potencial o algo completamente diferente? Intuitivamente, ¿de dónde viene y qué significa?

3) ¿Cuáles son algunos potenciales interesantes y/o físicamente relevantes para la ecuación GP? Supongo que esta es una pregunta vaga, pero ¿a qué tipos de potenciales están sujetos con frecuencia los condensados ​​de Bose Einstein? Por ejemplo, en la mecánica cuántica estudiamos la partícula en una caja y los modelos de oscilador armónico. ¿Son estos también interesantes/relevantes en los condensados ​​BE?

Respuestas (1)

1) Algunos de los supuestos de la ecuación de Gross-Pitaevskii (GPE) son:

  1. todos los átomos están en la misma función de onda condensada,
  2. el condensado esta en T = 0 ,
  3. Las colisiones entre átomos tienen una energía lo suficientemente baja como para que las interacciones puedan describirse bien mediante la s -longitud de dispersión de onda, por lo que la interacción se puede escribir gramo d ( X i − X j ) .

Los GPE generalizados también se pueden resolver, lo que permite el agotamiento térmico y cuántico (algunos átomos no están en el condensado) y permite otras formas de interacción, como la dipolar.

2) El término de interacción, gramo | Ψ ( X ) | 2 , se suma al potencial externo V mi X t ( X ) , el potencial efectivo es la suma de ambos: V mi X t ( X ) + gramo | Ψ ( X ) | 2 . La densidad del condensado es norte 0 ( X ) = | Ψ ( X ) | 2 , entonces el término de interacción es gramo norte 0 ( X ) que es el potencial debido a la interacción con el propio condensado.

Más detalles en respuesta al comentario del OP:

El potencial de interacción entre dos átomos generalmente se puede escribir como V ( r i j ) dónde r i j = X i − X j . Para átomos neutros sin un momento dipolar magnético significativo, la interacción dominante es de van der Waals, por lo que V ( r i j ) ∝ r i j − 6 .

Al considerar la dispersión entre dos átomos, podemos hacer una expansión de onda parcial (haciendo coincidir las funciones de onda entrantes y salientes y expandiendo en términos de polinomios de Legendre, por ejemplo, "Mecánica cuántica", Capítulo 17, Landau y Lifshitz). Para partículas lentas con interacción de van der Waals, la s -el término de onda es dominante y la interacción se puede simplificar a V ( r i j ) = gramo d ( r i j ) dónde gramo = 4 π ℏ 2 a s / metro y a s es el s -Longitud de dispersión de onda. Para tener una idea de la longitud de dispersión, en el s -aproximación de onda, la sección transversal es σ = 4 π a s 2 , entonces a s es una escala de longitud para la interacción.

El potencial de interacción en el GPE se puede escribir

∫ d X ′ V ( X ′ − X ) | Ψ ( X ′ ) | 2
Cuando V ( X ′ − X ) = gramo d ( X ′ − X ) , esto se simplifica a
∫ d X ′ gramo d ( X ′ − X ) | Ψ ( X ′ ) | 2 = gramo | Ψ ( X ) | 2

3) El potencial externo V mi X t ( X ) generalmente se debe a campos ópticos o magnéticos aplicados y, a menudo, es aproximadamente un oscilador armónico. La fuerza del oscilador puede ser muy fuerte en algunas direcciones creando un confinamiento cuasi unidimensional o bidimensional. Una partícula en una caja aún no es posible (los átomos interactuarían con las "paredes"), pero el potencial externo puede ser localmente aproximadamente uniforme cerca del centro de la trampa. Los potenciales de red también son comunes, donde (además del confinamiento armónico) los átomos quedan atrapados en una onda estacionaria creada por láseres de contrapropagación que dan como resultado un potencial periódico. Son posibles muchas otras formas, como toroides.

Una buena referencia es el libro "Condensación de Bose-Einstein en gases diluidos" de Pethick y Smith. Esta revisión ligeramente anticuada también es buena (versión gratuita de arXiv aquí ): la sección III es relevante para su pregunta 2.

¡Gracias! No sé qué es la longitud de dispersión de una onda s, pero ¿está tratando de sugerir que los bosones individuales no se 'sienten' entre sí a menos que estén uno encima del otro (de ahí la función delta)? Si entiendo correctamente, entonces dices que el potencial debido a la interacción es g | ψ ( X ) | 2 - pero ¿no contradice esto que la interacción es una función delta? Impresionante respuesta, gracias!
@alexvas, gracias. He actualizado la respuesta con más detalles sobre la interacción.
@alexas: También intentaré responder tu comentario de forma más cualitativa. Los bosones son funciones de onda, por lo que parte de la densidad del bosón siempre está "una encima de la otra". La función delta simplifica la interacción a solo esa parte (por lo tanto | Ψ ( X ) | 2 sin dependencia de Ψ ( X ′ ) para X ≠ X ′ ). El s La longitud de dispersión de onda se utiliza para obtener la magnitud de la interacción correcta al orden más bajo.
En mi respuesta afirmo que aún no se había alcanzado un potencial de caja. Solo unos días después de mi respuesta, se informó el primer BEC en un cuadro potencial: consulte arxiv.org/abs/1212.4453 o journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.110.200406 .
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